グリーン関数（読み）グリーンかんすう（英語表記）Green function

改訂新版　世界大百科事典

グリーン関数 (グリーンかんすう)
Green function

X，Yを線形関数空間，TをXからYへの線形微分作用素とする。Tが逆作用素T⁻¹をもち，それがYの上の積分作用素であるとき，その積分作用素の核をTのグリーン関数という。

　例えば，閉区間［a，b］上で2階連続微分可能な関数y（x）で，条件，

　（1）αy（a）＋α′y′（a）＝0，（2）βy（b）＋β′y′（b）＝0（α，α′，β，β′は定数）

を満たすものの全体をX，［a，b］上で連続な関数の全体をYとすれば，X，Yはともに線形関数空間である。XからYへの2階線形微分作用素，をLで表す。Ly＝λy（λは定数）となるような恒等的に0でないy∈Xが存在するとき，λをLの固有値という。lをLの固有値でない定数とすれば，L－lはグリーン関数をもち，それは次の式で与えられる。

ただし，y₁（x，l）は条件（1）を満たす（L－l）y＝0の解，y₂（x，l）は条件（2）を満たす（L－l）y＝0の解で，

そして（L－l）y＝f（f∈Y）の解y（x）∈Xは，で与えられる。
執筆者：斎藤 利弥

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

グリーン関数
グリーンかんすう
Green function

微分方程式3次元において，Δ をラプラスの演算子 (ラプラシアン ) とするとき ΔG(x)＝－δ(x－ξ) の解は G(x，ξ)＝1/4π｜x－ξ｜－1 で与えられる。この G(x，ξ) をこの微分方程式のグリーン関数という。これを用いると，微分方程式 の解は という式で表わせる。一般に楕円型または放物型の偏微分方程式の境界値問題を解くときに，これと類似なグリーン関数を用いる方法が有用である。場の理論では因果関係を明確にするためにグリーン関数が用いられる。統計力学では相関関数または分布関数の拡張とみられる温度グリーン関数が広く用いられる。

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