トレミーの定理（読み）とれみーのていり

日本大百科全書(ニッポニカ)

トレミーの定理
とれみーのていり

四角形が円に内接するならば、二つの対角線を二辺とする長方形の面積は、もとの四角形の二組の対辺を二辺とする二つの長方形の面積の和に等しい。これをトレミーの定理といい、この定理の逆も成り立つ。長方形は円に内接するから、長方形にトレミーの定理を適用すれば三平方の定理（ピタゴラスの定理）が現れてくる。トレミー（プトレマイオス）は150年ころアテネやアレクサンドリアで活躍した学者で古代天文学の中心人物であった。天文計算には三角比の計算が必要であるが、トレミーの仕事は『アルマゲスト』Almagestにまとめられている。トレミーの定理から、二つの弦の長さの和や差を計算する公式が導かれる。たとえば、点Aを頂点とする二等辺三角形の外接円を考え、底辺BCを弦とする弧のうち頂点Aの反対側の弧の上に任意の点Pをとると、弦PBと弦PCの長さの和は弦PAの長さに比例する。点Pが点Aのある弧の上にあれば、弦PBと弦PCの差が弦PAに比例する。

［柴田敏男］

トレミーの定理の証明

二つの弦の和と差

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

トレミーの定理
トレミーのていり
Ptolemy's theorem

四辺形 ABCDが円に内接するとき，AB・CD＋AD・BC＝AC・BD が成り立つ。また逆に，凸四辺形 ABCDにおいて上の関係式が成り立てば，この四辺形は円に内接する。これをトレミーの定理という。この定理は，ピタゴラスの定理の一般化ともいえる。なぜなら，四辺形 ABCDが長方形であれば，AB＝CD，AD＝BC，AC＝BDとなり，初めに述べた等式が AB²＋BC²＝AC²と書けるからである。この定理は円の弧に対する弦関数の加法定理であって，プトレマイオス（トレミー）が弦関数の表作成に活用した。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典