プリュッカー座標（読み）ぷりゅっかーざひょう

日本大百科全書(ニッポニカ)

プリュッカー座標
ぷりゅっかーざひょう

ドイツの数学者、物理学者であるプリュッカーの導入した座標。平面上の点には座標(x,y)が対応する。斉次(せいじ)座標を使えばX:Y:Z=x:y:1となる(X,Y,Z)が対応し、点の集合である図形の研究は、それらの座標についての解析的研究に帰せられる。平面上の直線はax+by+c=0の形で表されるから、直線はa、b、cを定め、逆に三つの数は直線を定める。この場合a、b、cは一意に直線を定めるが、直線はa:b:cなる比の値だけを一意に定め、その意味で点の斉次座標に似ている。プリュッカー座標は空間における直線の座標で、次のように定義される。直線l上の2点P、Qの斉次座標をそれぞれ
　　(x₁,x₂,x₃,x₄),(y₁,y₂,y₃,y₄)
とするとき
　　(1)　p_ij=x_iy_j-x_jy_i,
　　　　　　1≦i＜j≦4
なる六個の数p₁₂、p₁₃、p₁₄、p₂₃、p₂₄、p₃₄をlのプリュッカー座標という。これら六数の比
　　p₁₂:p₁₃:p₁₄:p₂₃:p₂₄:p₃₄
は、l上に点P、Qをどこにとっても同じであり、また
　　(2)　p₁₂p₃₄+p₁₃p₂₄+p₁₄p₂₃=0
なる関係を満足する。逆に、(2)を満たす六数が与えられれば、(1)を満たす点
　　(x₁,x₂,x₃,x₄),(y₁,y₂,y₃,y₄)
を求めることができて、与えられた6個の数はこれら2点を通る直線のプリュッカー座標になる。空間にある直線lに対して五次元空間で斉次座標が(p₁₂,p₁₃,p₁₄,p₂₃,p₂₄,p₃₄)なる点を対応させれば、直線の集まりがつくる幾何学的対象の研究は、五次元空間で座標が(2)を満たす四次元的曲面上の点集合の解析的研究に帰せられる。この意味でプリュッカー座標は射影幾何学、代数幾何学で重要である。

［立花俊一］

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)