ロルの定理（読み）ロルのていり（その他表記）Rolle's theorem

改訂新版　世界大百科事典

ロルの定理 (ロルのていり)
Rolle's theorem

関数f（x）が閉区間［a，b］で連続，かつ開区間（a，b）で微分可能であって，f（a）＝f（b）ならば，f′（c）＝0となる点cが開区間（a，b）の中に存在する。これをロルM.Rolle（1652-1719）の定理という。この事実は幾何学的には，関数f（x）が［a，b］における最大値をとる点，または最小値をとる点のうち，両端の点a，bに一致しない点の一つをcとすると，y＝f（x）のグラフ上でx＝cに対応する点における接線の傾きが0であることを意味する（図1）。上の定理でf（a）＝f（b）という仮定を除いた場合は，

　f（b）－f（a）＝（b－a）f′（c）

となる点cが（a，b）の中に存在する。これを微分法における平均値の定理という（図2）。平均値の定理はロルの定理を使って証明され，また平均値の定理から，関数の増減・極大・極小を調べること，テイラー展開など微分法に関するいろいろの重要な事実が導かれる。
→微分
執筆者：伊藤 清三

図1～図2

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

法則の辞典

ロルの定理【Rolle's theorem】

閉区間（a，b）において f（x）が連続で，a＜x＜b なるすべての x について f′（x）が存在する場合，もし f（a）＝f（b）＝0であるならば，a＜x＜b の少なくとも一つの値 x において f′（x）＝0である．

出典　朝倉書店

世界大百科事典（旧版）内のロルの定理の言及

【微分】より

…　この定理でf(a)＝f(b)という特別な場合はロルRolleの定理と呼ばれる。平均値の定理の証明はロルの定理に帰着され，ロルの定理は，有限閉区間で連続な関数はその区間で最大値，最小値をとる，という定理を用いて証明される。平均値の定理は幾何学的には，y＝f(x)のグラフの上の2点A(a,f(a))とB(b,f(b))とを結ぶ直線に平行な接線が引けるような点Cが，グラフ上でAとBとの間にあることを意味する(図3)。…

【平均値の定理】より

…(1)，(2)をそれぞれラグランジュの平均値定理，コーシーの平均値定理というが，単に平均値定理といえば(1)を指す。(2)でg(x)≡xの場合が(1)であり，(1)でさらにf(b)＝f(a)の場合はロルの定理と呼ばれる。
［積分法における平均値の定理］
　(1)a≦x≦bにおいてf(x)は連続であり，またg(x)は積分可能であって符号が一定ならば，なるcが存在する。…

※「ロルの定理」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

出典｜株式会社平凡社「世界大百科事典（旧版）」