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アーベル群 アーベルぐんAbelian group

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

アーベル群
アーベルぐん
Abelian group

群において,任意の2元 abの2つの結合 abbaに対して,常に交換法則 abbaが成り立つとき,この群をアーベル群または可換群 commutative groupという。たとえば,整数,有理数,実数あるいは複素数全体の集合は,加法について群をつくる。また,有理数,実数あるいは複素数から0を除いた集合は乗法についても群をつくる。しかも,これらの群はすべてアーベル群となる。アーベル群での結合は,しばしば加法 abで表記され,加法群 additive groupといわれることもある。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

アーベル群
あーべるぐん

可換法則を満たす群、すなわち任意の元a、bに対し、ab=baを満たす群をいい、可換群ともいう。ノルウェーの数学者アーベル代数方程式の解法に関連して考察した。演算記号プラスで表されているときは、加群をなすということが多い。たとえば、整数の全体Zは加法に注目すれば、加群をなす。単位元は0で、整数zの逆元は-zである。
 有理数の全体から0を取り除いた集合は乗法に関してアーベル群をなす。単位元は1で、0でない有理数rの逆元はr-1である。アーベル群のなかでいちばん単純なものは、ただ一つの元から生成される群、すなわち巡回群である。たとえばωを1の3乗根とし、ω≠1とし、
  G={1,ω,ω2
という集合を考えると、Gは群をなしている。しかもすべての元がωn(n=0,1,2)の形で表せる。つまりGはωを生成元とする巡回群である。また整数の全体Zは1を生成元とする無限巡回群である。なぜなら
  Z={n・1|n=0,±1,±2,……}
と表せるからである。ここにn・1はnが正ならば1をn個加えたものであり、nが負ならば1を|n|個加えたものの逆元である。有限個の元から生成されるアーベル群は、いくつかの有限巡回群といくつかの無限巡回群の直積となることが証明される。これを有限生成アーベル群の基本定理とよぶ。
 アーベル群はクロネッカーやフロベニウスなどによって1870年代から盛んに研究され始め、基本定理もそのころ証明を与えられたものである。[足立恒雄]

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世界大百科事典内のアーベル群の言及

【可換群】より

…群において,その演算が可換(乗法ならばabba,加法ならばabbaが,すべての2元a,bについて成立)であるとき,その群は可換群またはアーベル群Abelian groupであるという。N.H.アーベルが代数的に解ける方程式について研究した際に,ガロア群が可換群になるような拡大が扱われたので,この名があるという。…

【群】より

… 数の加法や乗法の場合には,条件(5)交換法則,すなわちabbaが満たされている。このような場合,可換群またはアーベル群と呼ぶ。今後,この項では群の演算の記号は省略して,積はabのようにかく。…

※「アーベル群」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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