リーマン積分（読み）りーまんせきぶん（英語表記）Riemann integral

日本大百科全書(ニッポニカ)

リーマン積分
りーまんせきぶん
Riemann integral

ドイツの数学者リーマンの与えた定義による積分の方法。

　f(x)は、区間［a,b］で与えられた有界な関数であるとする。さらに、区間［a,b］を分点x₁,x₂,……,x_n-1（x₀=a,x_n=bとする）によって細分し、その分割をΔとする（図の(1)）。そして、各小区間内に一点ξ_k(x_k-1≦ξ_k≦x_k)を任意にとり、次の和S(Δ)を考える。

S(Δ)=f(ξ₁)(x₁-x₀)+f(ξ₂)
(x₂-x₁)+……+f(ξ_n)(x_n-x_n-1)
（図の(2)の長方形の面積の和）
　そして、どのように分割Δをとり、またどのように点ξ_kを各小区間から選んでも、分割Δを構成する小区間の幅を一様に小さくしていけば（すなわちx_k-x_k-1(k=1,2,……,n)の最大のものを0に近づける、このときもちろんn→∞）、S(Δ)がある一定の値Iに近づくとき、f(x)はリーマン積分可能であるといい、

で表す。

　リーマンはこの定義を与えたのち、単調関数はリーマン積分可能であることを示した（1854）。連続関数がリーマン積分可能であることを示したのは、ハイネである（1874）。

［竹之内脩］

[参照項目] | 積分法 | 単調関数

リーマン積分〔図〕

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

改訂新版　世界大百科事典

リーマン積分 (リーマンせきぶん)
Riemann integral

積分の概念は微分とともに17世紀後半にI.ニュートンとG.W.F.ライプニッツによって発見されたが，これを現代数学の立場で，一般的な形に厳密に定義したのがリーマン積分である。19世紀に入ってA.L.コーシーやP.G.L.ディリクレにより関数の概念が見直され，その意味が確立されたことにより，積分の概念もG.F.B.リーマンにより次のように一般的に定義されるに至った。

　区間a≦x≦bで定義された有界な実数値関数f（x）があるとき，この区間の分割，

　⊿：a＝x₀＜x₁＜x₂＜……＜x_n-1＜x_n＝b

を考え，各小区間x_j-1≦x≦x_j（j＝1，……，n）に属する任意の点ξ_jをとり，分割⊿と点の組ξ＝｛ξ_j｝によって定まる和，を考える。小区間の長さの最大のものが0に近づくように，分割を限りなく細かくしていくとき，S［⊿;ξ］の値が分割⊿や点の組ξの列のとり方に無関係な一定の値Sに近づくならば，f（x）は区間a≦x≦bでリーマン積分可能または単に積分可能であるといい，と書いて，これをf（x）のaからbまでの積分という。連続関数の積分は微分の逆演算である。積分概念をさらに発展させたものとして，20世紀初めにH.ルベーグによって創始されたルベーグ積分がある。
→積分　→ルベーグ積分
執筆者：伊藤 清三

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

リーマン積分
リーマンせきぶん

「定積分」のページをご覧ください。

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