コトバンクはYahoo!辞書と技術提携しています。

リーマン積分 リーマンせきぶんRiemann integral

世界大百科事典 第2版の解説

リーマンせきぶん【リーマン積分 Riemann integral】

積分の概念は微分とともに17世紀後半にI.ニュートンとG.W.F.ライプニッツによって発見されたが,これを現代数学の立場で,一般的な形に厳密に定義したのがリーマン積分である。19世紀に入ってA.L.コーシーやP.G.L.ディリクレにより関数の概念が見直され,その意味が確立されたことにより,積分の概念もG.F.B.リーマンにより次のように一般的に定義されるに至った。 区間axbで定義された有界な実数値関数f(x)があるとき,この区間の分割, ⊿:ax0x1x2<……<xn-1xnbを考え,各小区間xj-1xxj(j=1,……,n)に属する任意の点ξjをとり,分割⊿と点の組ξ={ξj}によって定まる和,を考える。

出典 株式会社平凡社世界大百科事典 第2版について 情報

日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

リーマン積分
りーまんせきぶん
Riemann integral

ドイツの数学者リーマンの与えた定義による積分の方法。
 f(x)は、区間[a,b]で与えられた有界な関数であるとする。さらに、区間[a,b]を分点x1,x2,……,xn-1(x0=a,xn=bとする)によって細分し、その分割をΔとする(の(1))。そして、各小区間内に一点ξk(xk-1≦ξk≦xk)を任意にとり、次の和S(Δ)を考える。
S(Δ)=f(ξ1)(x1-x0)+f(ξ2)
(x2-x1)+……+f(ξn)(xn-xn-1)
の(2)の長方形の面積の和)
 そして、どのように分割Δをとり、またどのように点ξkを各小区間から選んでも、分割Δを構成する小区間の幅を一様に小さくしていけば(すなわちxk-xk-1(k=1,2,……,n)の最大のものを0に近づける、このときもちろんn→∞)、S(Δ)がある一定の値Iに近づくとき、f(x)はリーマン積分可能であるといい、

で表す。
 リーマンはこの定義を与えたのち、単調関数はリーマン積分可能であることを示した(1854)。連続関数がリーマン積分可能であることを示したのは、ハイネである(1874)。[竹之内脩]

出典 小学館 日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について 情報 | 凡例

リーマン積分の関連キーワードリーマン(Georg Friedrich Bernhard Riemann)スティルチェス積分ダルブーの定理ジョルダン測度H. ルベーグルベーグ積分微分形式ルベーグ重積分連続分割有界

今日のキーワード

書類送検

警察から検察官に対して事件を送致する場合 (送検) ,捜査に当たり逮捕した被疑者の身柄を引き続き拘束しておく必要があるときは書類,証拠物とともに身柄を送致するが,もともと逮捕しなかったり,一度逮捕した...

続きを読む

コトバンク for iPhone

コトバンク for Android