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リーマン積分 リーマンせきぶんRiemann integral

世界大百科事典 第2版の解説

リーマンせきぶん【リーマン積分 Riemann integral】

積分の概念は微分とともに17世紀後半にI.ニュートンとG.W.F.ライプニッツによって発見されたが,これを現代数学の立場で,一般的な形に厳密に定義したのがリーマン積分である。19世紀に入ってA.L.コーシーやP.G.L.ディリクレにより関数の概念が見直され,その意味が確立されたことにより,積分の概念もG.F.B.リーマンにより次のように一般的に定義されるに至った。 区間axbで定義された有界な実数値関数f(x)があるとき,この区間の分割, ⊿:ax0x1x2<……<xn-1xnbを考え,各小区間xj-1xxj(j=1,……,n)に属する任意の点ξjをとり,分割⊿と点の組ξ={ξj}によって定まる和,を考える。

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

リーマン積分
リーマンせきぶん

定積分」のページをご覧ください。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

リーマン積分
りーまんせきぶん
Riemann integral

ドイツの数学者リーマンの与えた定義による積分の方法。
 f(x)は、区間[a,b]で与えられた有界な関数であるとする。さらに、区間[a,b]を分点x1,x2,……,xn-1(x0=a,xn=bとする)によって細分し、その分割をΔとする(の(1))。そして、各小区間内に一点ξk(xk-1≦ξk≦xk)を任意にとり、次の和S(Δ)を考える。
S(Δ)=f(ξ1)(x1-x0)+f(ξ2)
(x2-x1)+……+f(ξn)(xn-xn-1)
の(2)の長方形の面積の和)
 そして、どのように分割Δをとり、またどのように点ξkを各小区間から選んでも、分割Δを構成する小区間の幅を一様に小さくしていけば(すなわちxk-xk-1(k=1,2,……,n)の最大のものを0に近づける、このときもちろんn→∞)、S(Δ)がある一定の値Iに近づくとき、f(x)はリーマン積分可能であるといい、

で表す。
 リーマンはこの定義を与えたのち、単調関数はリーマン積分可能であることを示した(1854)。連続関数がリーマン積分可能であることを示したのは、ハイネである(1874)。[竹之内脩]

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