ルベーグ積分（読み）るべーぐせきぶん（英語表記）Lebesgue integral

日本大百科全書(ニッポニカ)

ルベーグ積分
るべーぐせきぶん
Lebesgue integral

普通、微積分学の教科書に出てくる積分はリーマン積分とよばれるもので、定義は簡単であるが、いくつかの欠点をもっている。たとえば、積分可能な関数列｛f_n(x)｝が、各点xでf(x)に収束しても、f(x)が積分可能でなかったり、

に収束しなかったりすることである。また、二変数の関数f(x,y)の積分順序の変換に、積分と関係のない連続性などの条件が必要になったりする。

　ルベーグは1902年の学位論文で、これらの欠点を除き、しかも、リーマン積分可能な関数の積分の値は同じになるような積分を構成した。これがルベーグ積分とよばれているもので、近代解析学の基礎として不可欠のものとなっている。ただし、ルベーグ積分の構成法はやや複雑であり、いろいろ改良した流儀があるが、いずれも同じ積分に帰着する。

　抽象的に、測度空間(X,M,m)を考える。すなわち、集合Xの部分集合の族Mで、集合E∈Mには測度m(E)が定義され、これが完全加法的な測度になっているとする。このときMの要素である集合を可測集合という。

　X上の実数値関数f(x)が、任意の実数αに対し、集合
　　｛x∈X;f(x)＞α｝∈M（可測集合）
となるとき、この関数を可測関数という。可測関数f(x)に対し、

と置けば、E_k,n∈Mであるから

が確定するとき、関数f(x)は積分可能となる。この極限値を関数f(x)の測定空間(X,M,m)上のルベーグ積分といい、

で表す。また、積分可能な関数の集合をL¹(X,M,m)または簡単にL¹で表す。とくにXがn次元ユークリッド空間Rⁿで、Eが区間のとき、mが区間Eの体積|E|を表すならば、

と表す。

　ルベーグ積分の代表的な特性をいくつかあげると、
（1）関数f(x)が可測で、ある積分可能な関数g(x)があって、|f(x)|≦g(x)ならば、f(x)も積分可能となる。

（2）｛f_n(x)｝⊂L¹(X,M,m),f_n(x)→f(x)、しかも|f_n(x)|≦g(x)∈L¹(X,M,m)ならばf(x)∈L¹(X,M,m)となり、

これは積分とlimが交換可能であることを示している。これをルベーグの収束定理という。

（3）二変数の関数f(x,y)∈L¹(X,M,m)ならば、重積分は繰り返し積分となり、

（4）測度空間(X,M,m)上の可測関数f(x)で、

となる関数f(x)の集合をL^p(X,M,m)とし、これにノルムを

で定義すると、L^p(X,M,m)はバナッハ空間となる。とくに、p=2のときはヒルベルト空間である（リース‐フィッシャーの定理）。

　このように、ルベーグ積分によって関数解析に役だつ関数空間がつくられた（リーマン積分可能な関数に、リーマン積分により、式（＊）でノルムを定義しても完備にはならない）。

［洲之内治男］

『伊藤清三著『ルベーグ積分入門』（1963・裳華房）』▽『洲之内治男著『ルベーグ積分入門』（1974・内田老鶴圃）』

[参照項目] | 測度

ルベーグ積分

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

ルベーグ積分
ルベーグせきぶん
Lebesgue's integral

f(x) を区間 [a，b] で定義された有界な関数として，まず f(x)≧0 の場合を考える。 [a，b] における f(x) の下限を L ，上限を M とし，区間 [L，M] を分点 L＝α₀＜α₁＜α₂＜…＜α_n-1＜α_n＝M で n 個の小区間に分割し，この分割を Δ とする。 α_i≦f(x)≦α_i+1 となるような x の集合の測度を m(α_i，α_i+1) とし

，

とおけば，α_i－α_i-1 の最大のものが0に近づくように分割 Δ を細くしたとき ， となる。このとき，もし であればその共通の値 S を f(x) の a から b までのルベーグ積分という。積分をこのように定義すると，不連続関数も積分可能になりやすく，しかも積分可能な関数のつくる関数空間が完備になるので，関数解析に都合がよい。

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