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単調関数 たんちょうかんすうmonotone function

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

単調関数
たんちょうかんすう
monotone function

単調増加関数と単調減少関数とを総称して単調関数という。関数 f(x) がある区間 [ab] で定義され,その区間内の任意の x1x2 ( x1x2 とする) に対して,常に f(x1)≦f(x2) であれば,f(x) は区間 [ab] において単調増加関数であるといい,また f(x1)≧f(x2) であれば,f(x) は区間 [ab] において単調減少関数であるという。以上を総称して広義の単調関数という。これに対して,x1x2 のとき,f(x1)<f(x2) あるいは f(x1)>f(x2) であるものを,狭義単調増加関数あるいは単調減少関数という。

出典 ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典について 情報

世界大百科事典 第2版の解説

たんちょうかんすう【単調関数 monotone function】

実変数の実数値関数f(x)があって,x1x2ならばf(x1)≦f(x2)となるとき,f(x)を単調増加関数,または単に増加関数という。また,x1x2ならばf(x1)≧f(x2)となるとき,f(x)を単調減少関数,または単に減少関数という。増加関数と減少関数とを総称して単調関数という。とくに,x1x2なるかぎりf(x1)<f(x2),またはf(x1)>f(x2)となるとき,それぞれf(x)は狭義単調増加,または狭義単調減少であるといい,これらの場合を総称して狭義単調であるという。

出典 株式会社日立ソリューションズ・クリエイト世界大百科事典 第2版について 情報

日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

単調関数
たんちょうかんすう

増加関数、減少関数をあわせていう術語。減少関数は、マイナスをつければ増加関数になるから、以下の説明では増加関数について述べる。実数のある区間a≦x≦b(区間の片方、または両方の端が入っていなくてもよい。またa、bは±∞でもよい)において定義された実数値関数f(x)に対し、
  x1<x2 ならば f(x1)≦f(x2)
であるとき、f(x)はこの区間で単調増加であるという。もし、ここで、つねにf(x1)<f(x2)であるときは、単に増加(または狭義の増加)関数という。たとえば、
  f(x)=x (-∞<x<+∞)
  f(x)=x2 (x≧0)
などは増加関数である。また、
  f(x)=[x] (-∞<x<+∞)
も単調増加関数である(図A)。ここで[x]はxの整数部分、すなわちxより大きくない整数のうちで最大のものを表す。[x]はガウスの記号とよばれている。このように全区間がいくつかの区間に分けられ、各小区間の上では定数値をとりながら増加していくような関数を階段関数という。
 単調増加関数は次のような性質をもつ。
(1)単調増加関数は、かならずしも連続ではないが、不連続である点は、たかだか可算個で、不連続点においては、左側からの極限値、右側からの極限値を有する(図B)。
(2)連続な増加関数は逆関数を有し、逆関数もまた連続、増加である。
(3)単調増加関数は、ほとんどすべての点で、すなわちルベーグ測度が0であるような集合上を除いて微分可能である。
(4)f(x)がすべての点の上で微分可能で、f′(x)≧0ならばf(x)は単調増加である。
(5)単調増加関数は、リーマン積分可能である。
(6)区間[a,b]上の単調増加関数f(x)は、[a,b]上でフーリエ級数に展開できる。すなわち、そのフーリエ級数は、すべての点で収束し、f(x)の連続点では、その値はf(x)に等しい。これはフーリエ級数論において、ディリクレが印(しる)した第一歩であった(1829)。
 単調増加関数の差として表される関数を有界変動関数という。これは次のような性質で特徴づけられる。c,d(c<d)を定義域のなかの任意の2点とすれば、ある正数Mがあって、
  c=x0<x1<x2<……<xn=d
というような点x1,x2,……,xn-1をどのようにとっても
  |f(x1)-f(x0)|
   +|f(x2)-f(x1)|
   +……+|f(xn)-f(xn-1)|≦M
となる。[竹之内脩]

出典 小学館 日本大百科全書(ニッポニカ)日本大百科全書(ニッポニカ)について 情報 | 凡例

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