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ロルの定理 Rolle's theorem

法則の辞典の解説

ロルの定理【Rolle's theorem】

閉区間(ab)において fx)が連続で,axb なるすべての x について f′(x)が存在する場合,もし fa)=fb)=0であるならば,axb の少なくとも一つの値 x において f′(x)=0である.

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世界大百科事典 第2版の解説

ロルのていり【ロルの定理 Rolle’s theorem】

関数f(x)が閉区間[a,b]で連続,かつ開区間(a,b)で微分可能であって,f(a)=f(b)ならば,f′(c)=0となる点cが開区間(a,b)の中に存在する。これをロルM.Rolle(1652‐1719)の定理という。この事実は幾何学的には,関数f(x)が[a,b]における最大値をとる点,または最小値をとる点のうち,両端の点a,bに一致しない点の一つをcとすると,yf(x)のグラフ上でxcに対応する点における接線の傾きが0であることを意味する(図1)。

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世界大百科事典内のロルの定理の言及

【微分】より

… この定理でf(a)=f(b)という特別な場合はロルRolleの定理と呼ばれる。平均値の定理の証明はロルの定理に帰着され,ロルの定理は,有限閉区間で連続な関数はその区間で最大値,最小値をとる,という定理を用いて証明される。平均値の定理は幾何学的には,yf(x)のグラフの上の2点A(a,f(a))とB(b,f(b))とを結ぶ直線に平行な接線が引けるような点Cが,グラフ上でAとBとの間にあることを意味する(図3)。…

【平均値の定理】より

…(1),(2)をそれぞれラグランジュの平均値定理,コーシーの平均値定理というが,単に平均値定理といえば(1)を指す。(2)でg(x)≡xの場合が(1)であり,(1)でさらにf(b)=f(a)の場合はロルの定理と呼ばれる。
[積分法における平均値の定理]
 (1)axbにおいてf(x)は連続であり,またg(x)は積分可能であって符号が一定ならば,なるcが存在する。…

※「ロルの定理」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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