整域（読み）せいいき

日本大百科全書(ニッポニカ)

整域
せいいき

数学用語。単位元1をもつ可換環Aが（1）Aの元a、bに対し
　　ab=0⇒a=0　または　b=0
（2）1と0は異なるを満たすとき、Aを整域という。整数環Zと、体k係数の多項式環k［X］は整域である。また、体と、体の1を含む部分環は整域である。整数環Zから有理数体Qをつくるように、任意の整域Aから、Aを部分環として含む最小の体Kを次のようにつくることができる。

　Kを記号a/b(a,b∈A,b≠0)で表される元の集合とする。ただし、
（3）a/b=a'/b'⇔ab'=a'bとする。Kの元の和と積を、有理数のときと同じように
（4）(a₁/b₁)+(a₂/b₂)
　　　=(a₁b₂+a₂b₁)/(b₁b₂)
（5）(a₁/b₁)(a₂/b₂)
　　　=(a₁a₂)/(b₁b₂)
と定義すると、この和・積は（3）の同値関係と矛盾せず、Kを体にする。このとき、Aの元aをa／1と同一視すると、体Kは、Aを部分環として含むような最小の体であることがわかる。このKを整域Aの商体という。整域Zの商体はQであり、多項式環k［X］の商体は有理関数体
k(X)=｛f(X)/g(X)|f,g∈k［X］g≡0｝
である。

［菅野恒雄］

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

整域
せいいき
integral domain

単位元をもつ環であって，零因子をもたないものを整域という。乗法の交換法則を付加することもある。整数全体のつくる環は，零因子をもたない可換環であるから，1つの整域である。また m を法とする剰余類全体のつくる環は，m が素数であるときに限って整域である。その他，有理数の環，実数の環，複素数の環，あるいは実数係数の多項式環も整域である。整域については，整数から分数をつくるときのようにして，体をつくることができる。体はもちろん整域である。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

世界大百科事典（旧版）内の整域の言及

【環】より

…左，右零因子を総称し，零因子という。(2)整域　零因子をもたない可換環を，整域という。有理整数環Zや，整域Aを係数とする多項式環A［X］は，整域である。…

※「整域」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

出典｜株式会社平凡社「世界大百科事典（旧版）」