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多項式環 たこうしきかん polynomial ring

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

多項式環
たこうしきかん
polynomial ring

R可換環とするとき,R の元 a0a1,…,an-1an を係数とする変数(あるいは文字,記号)の多項式 f(x)=a0xna1xn-1+…+an-1xan の全体は,通常の加法および乗法に関して環をつくる。

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世界大百科事典 第2版の解説

たこうしきかん【多項式環 polynomial ring】

単位元1をもつ可換環R上のx1,x2,……,xnの多項式全体をR[x1,……,xn]で表す。多項式の和,積でR[x1,……,xn]の和,積を定めると,R[x1,……,xn]は単位元をもつ可換環になる。この環をR上のn変数多項式環という。 Rから可換環Aへの環準同型φで,φ(1)がAの単位元になっているものが与えられているとき,A(正確にはAとφの組)はR‐代数であるという。R‐代数(A,φ)から(A′,φ′)への環準同型ψが,Rの任意の元rについて,ψφ(r)=φ′(r)という性質をもつとき,R‐代数の準同型であるという。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

多項式環
たこうしきかん

実数を係数とするxの多項式の考えを一般化して、可換体kと文字xに対して
  a0xn+a1xn-1+……+an
という形の式をkxの多項式という。kxの多項式全体をkx]で表し、このkx]をk上の多項式環という。多項式に対しては通常の方法で和と積が定義され、kx]は可換環になる。
 多項式環の理論のなかで重要なのは、既約な多項式への分解への一意性の定理である。可換体k上の多項式f(x)が、同じくk上の多項式g(x),h(x)によって
(1)f(x)=g(x)h(x)と表される
(2)g(x),h(x)はf(x)より低次数
であるとき、f(x)はk上可約であるといわれ、(1)、(2)のようにはできないとき、k上既約であるといわれる。
 多項式環における既約な多項式は、整数環における素数のようなものである。整数の場合に「任意の整数は素数の累乗の積の形に一意的に表される」(たとえば100=22×52)ように、「任意の多項式は既約多項式の累乗の形に一意的に表される」ことが証明され、これが代数方程式の理論の基礎となっている。
 さらにk上の有理式とは、k上の多項式f(x),g(x)(ただしg(x)≠0)に対してf(x)/g(x)と表される式のことである。可換体k上の有理式の全体はまた一つの可換体であり、これを有理関数体という。[寺田文行]

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