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連分数 れんぶんすうcontinued fraction

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

連分数
れんぶんすう
continued fraction

図のような形の分数をいう。これを簡単に表わすと,
となり,無限に続くものを無限連分数という。また,次のように
と有限で切れるものを有限連分数という。

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世界大百科事典 第2版の解説

れんぶんすう【連分数 continued fraction】

a0,a1,……,anおよびb1,b2,……,bnの式,を連分数という。この連分数を表すのに記号,を用いる。上のように有限で終わるものを有限連分数といい,無限に続くものを無限連分数という。b1=1,b2=1,……,bn=1となるものを正則連分数といい,以下ではこの場合について述べる。実数xに対して,[x]([ ]はガウス記号)で,xをこえない最大の整数を表すことにする。実数ωに対して,k0=[ω]とおけば,と表せる。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

連分数
れんぶんすう

分数のうち

という形式を連分数という。これを簡単に

と表す。有限で切れる連分数

は単に分数Pn/Qnに直せる。その列が一つの数ωに収束するとき、連分数は収束するといい、ωを連分数の値と称する。たとえば

である。とくにa0が整数、bnが1、anが自然数の場合を正則連分数という。前式の展開が正則連分数である。任意の無理数はただ一通りに正則連分数に展開され、逆に正則連分数はつねに収束して無理数を表す。の場合、分母に1と2が交互に表れるが、このように、あるところから先が循環する正則連分数を循環連分数という。無理数ωを表す正則連分数が循環連分数であるための必要十分条件は、ωが整数係数の二次方程式の解となることである。
 正則連分数の近似分数Pn/Qn
  Pn+1=Pnan+Pn-1,
  Qn+1=Qnan+Qn-1
     (n≧1,P0=1,Q0=0)
という漸化式によって定まる。したがって
  PnQn-1-Pn-1Qn=(-1)n
なる関係が成り立つ。これらの性質を用いて、連分数は不定方程式、ディオファントス近似、代数方程式の根(こん)の近似値などに有効に用いられる。たとえばa、bを整数として
  ax-by=1, (a,b)=1
なる一次不定方程式を考える。a/bを正則有限連分数に展開して

とすると、
  x0=(-1)m-1Qm-1,
  y0=(-1)m-1Pm-1
によって一つの解が与えられる。他の解はすべて
  x0+bt, y0+at (tは整数)
と表せる。[足立恒雄]

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