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不定方程式 フテイホウテイシキ

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デジタル大辞泉の解説

ふてい‐ほうていしき〔‐ハウテイシキ〕【不定方程式】

解が無数にある方程式。そのうち特に、整数係数として整数解を求める場合の代数方程式をいう。

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百科事典マイペディアの解説

不定方程式【ふていほうていしき】

一般には,方程式の数が未知数の数より少なく,従って無数の解をもつ方程式。たとえばx−2y=1。ふつうはさらにいくつかの条件をつけ解を求める。特に整係数の代数方程式の整数解を求める問題が古来興味をもたれ,そのような方程式をディオファントス方程式といい(ディオファントス),単に不定方程式といえばこれをさすことが多い。
→関連項目整数論方程式

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世界大百科事典 第2版の解説

ふていほうていしき【不定方程式 indeterminate equation】

ディオファントス方程式Diophantine equationともいう。方程式3X+5Y=1やX2Y2Z2のような,整数係数の代数方程式の整数解を求めることを不定方程式を解くという。整数解が無限に存在して定まらないことがあるので,不定ということばが用いられている。今日では,方程式の係数や解に関して整数であるという条件のほかに,有理数である,またはある代数体の整数環に含まれるなどの条件を考えることもある。

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大辞林 第三版の解説

ふていほうていしき【不定方程式】

未知数の個数より方程式の個数が少なく、その解が一つに定まらないような方程式。特に、係数を整数として整数解を求めるときにいうことがある。

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

不定方程式
ふていほうていしき

ディオファントスの方程式」のページをご覧ください。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

不定方程式
ふていほうていしき

整係数の代数方程式の整数解、ときには有理数解を求めることを、不定方程式またはディオファントス方程式を解くという。ここに名を残しているディオファントスは3世紀ごろのギリシアの代数学者である。彼の著書『算数論』には不定方程式の研究は含まれているが、すべて有理数解を扱っているのが一つの特徴である。
 たとえば
  ax+by=c (a,b,cは整数)(1)
  xn+yn=zn(nは2以上の自然数)(2)
は代表的な不定方程式である。(1)は、aとbの最大公約数がcを割り切るとき解をもつが、その解法としてユークリッドのアルゴリズムが有名である。(2)はn=2のときがピタゴラス数になり、紀元前2000年ころすでに古代バビロニアで研究されたものである。
 近代整数論の始祖とされるのはフェルマーであるが、フェルマーは、ディオファントスの『算数論』中のピタゴラス数に関する記述から、(2)がn≧3のとき自然数解をもたないことに気づいたといわれている。
 近年、ベーカーAlan Baker(1939― )によって不定方程式に一つの変革がもたらされた。たとえばf(x,y)を既約な三次以上の同次多項式とし、mを0でない整数とすると、不定方程式
  f(x,y)=m
は有限個の解しかもたない、というのが有名なトゥエA. Thue(1863―1922)の定理であるが、これに対してベーカーは、解の大きさの限界をf(x,y)の係数から与えることに成功したのである。[足立恒雄]

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