直和（読み）ちょくわ（その他表記）direct sum

改訂新版　世界大百科事典

直和 (ちょくわ)
direct sum

数学用語。

集合の直和

一つの集合Mが共通部分をもたない部分集合A，Bの和集合のとき，MはAとBの直和であるという。共通元をもつかもしれない二つの集合A，Bについて，Aと1対1対応をもつ集合A′を作って，A′とBが共通元をもたないようにして，A′∪Bを作り，これもAとBの直和といい，ABで表す。多くの集合についても同様に考える。

加法群，または環の直和

G₁，G₂が加法群，または環のとき，集合としての直積G₁×G₂＝｛（a，b）｜a∈G₁，b∈G₂｝に（a，b）＋（a′，b′）＝（a＋a′，b＋b′）で加法を定義し，環のときはさらに（a，b）（a′，b′）＝（aa′，bb′）で乗法を定義すれば，G₁×G₂も加法群，または環になる。これをG₁とG₂の直和といい，G₁⊕G₂で表す。｛G_λ｝_λΛが加法群の集りのときには，｛G_λ｝の直積集合の部分集合｛（……，a_μ，……，a_λ，……）｜有限個のλを除いてa_λ＝0｝に（……，a_μ，……，a_λ，……）＋（……，b_μ，……，b_λ，……）＝（……，a_μ＋b_μ，……，a_λ＋b_λ，……）で加法を定めたものを直和といい，これをで表す。環の集りの場合も同様である。
執筆者：丸山 正樹

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

直和
ちょくわ
direct sum

(1) 集合に関して　集合 A と B との和集合というときに，A ，B⊆X の場合の合併をさす場合もあるが，A と B を重なりを考えずに並べたものをいう場合もある。これを合併集合と区別するために直和ということもある。転じて，部分集合の合併についても，A∩B＝φ の場合に限って直和ということもある。 (2) 可換群に関して　加法に関する結合法をもつ可換群を G ，その部分群を G₁ ，G₂ とする。もし任意の元 x∈G ，x₁∈G₁ および x₂∈G₂ によって，x＝x₁＋x₂ の形に一意的に書けるとき，G は G₁ と G₂ の直和であるといわれ，これを G₁＋G₂ で表わす。 (3) ベクトル空間に関して　ベクトル空間の算法は加法なので，直積のことを直和ということもある。 (4) ベクトル空間の部分空間に関して　体 K の上のベクトル空間を V ，その部分空間を V₁ ，V₂ とする。もし V のおのおの元 x が，x₁∈V₁ および x₂∈V₂ によって，一意的に x＝x₁＋x₂ と書けるとき，V は V₁ と V₂ の直和であるといい，これを V₁＋V₂ で表わす。一般にも，V₁＋V₂＝{x₁＋x₂｜x₁∈V₁，x₂∈V₂} と書くが，これは V₁ と V₂ の直和 (直積) と同型とはかぎらない。それで特に，同型になる場合を直和というのである。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

世界大百科事典（旧版）内の直和の言及

【直積】より

…すべてのA_λが単位元をもつときは，も単位元をもつ。｛A_λ｝_λ∈Aの加法群としての制限直積はの部分環となり，｛A_λ｝_λ∈Aの直和ともいわれる。【丸山 正樹】。…

※「直和」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

出典｜株式会社平凡社「世界大百科事典（旧版）」