剰余類（読み）じょうよるい（その他表記）residue class

日本大百科全書(ニッポニカ)

剰余類
じょうよるい

整数論の一つの基本概念。mを正の整数とし、整数の集合をZとする。集合Zを次のようなm個の部分集合に分ける。

　C (0)＝｛……,－2m,－m, 0, m, 2m,……｝
　C (1)＝｛……,－2m＋1,－m＋1, 1, m＋1, 2m＋1,……｝
　C (2)＝｛……,－2m＋2,－m＋2, 2, m＋2, 2m＋2,……｝
　　　　　　　……………
　C (m－1)＝｛……,－m－1,－1, m－1, 2m－1,……｝
正の整数mを与えると、整数の集合Zはこのようなm個の部分集合に分けられ、この部分集合を、mを法とする剰余類という。

　整数a、bが同じ剰余類に入るとは、a－bがmで割り切れるということであり、ガウスはこれをa≡b(modm)で表し、aとbはmを法として合同であると名づけた。modはmodulusの略で、モジュラスと読む。合同式については次のことが成り立つ。

　a≡b　(modm),　c≡d　(modm)
　　ならば
　a＋c≡b＋d,　a－c≡b－d,　ac≡bd　(modm)
しかしa/cは整数とは限らないので、割り算については同様なことはいえない。整数a、bに対してax＝bとなる整数xが存在するのは、aがbの約数のときであるが、ax≡b(modm)となるxが存在するのは、a、mの最大公約数がbの約数となるときである。合同式で重要なのは、mが素数pのときである。とくに二次の不定方程式に関連して、pと互いに素な整数aに対して
　x²≡a (modp)
となるxが存在するか否かが問題になる。pが3以上の素数のとき、pと互いに素な剰余類
　C (1),……, C(p－1)
は全部でp－1個あり、(p－1)/2個の剰余類に属する整数aに対して解をもち、そのようなaはpを法とする平方剰余であるといわれる。なお、素数pについての次の結果はウィルソンの定理として知られている。

　(p－1)！≡－1 (modp)
［寺田文行］

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

剰余類
じょうよるい
residue class

(1) 群について　 H を群 G の1つの部分群，a を G の任意の元とするとき，H の任意の元 h と a の積 ha のすべてから成る集合 {ha｜h∈H} を，a による右剰余類といい，Ha で表わす。また積 ah から成る集合を左剰余類といい，aH で表わす。単位元 e は H に含まれているから，a＝ae＝ea となり，a は Ha にも aH にも含まれる。それゆえ，G のどのような元 a をとっても，それを含む右剰余類もあれば，左剰余類もある。右剰余類と左剰余類は，H が G の正規部分群であるとき一致するので，単に剰余類というときは，この場合をさす。2つの右剰余類，左剰余類は，完全に一致するか，または共通元をもたないかのいずれかである。それゆえ，G は H に関して，いくつかの互いに共通元をもたない右剰余類，左剰余類に分解することができる。分解によって得られた，G における H の異なる右剰余類の個数は，異なる左剰余類の個数に等しい。この等しい個数を H の指数という。 G が有限群のとき，この H の指数と H の位数との積は，G の位数に等しくなる。 (2) 整数について　整数全体の加法群を G ，整数 m の倍数から成る G の部分群を mG とする。 G の任意の元 r に対し，r を含む剰余類は mG＋r＝{ma＋r｜a∈G} である。ところで ma＋r は，0≦r₁＜m である整数 r₁ と適当な整数 n を選べば，(m＋n)a＋r₁ に等しくできるから，mG＋r＝mG＋r₁ が成り立つ。したがって mG による G の剰余類は，次の m 個に類別することができる。すなわち mG，mG＋1，mG＋2，…，mG＋(m－1) 。このことは，ある整数を m で割ると剰余 r は，0，1，2，…，m－1 のいずれかであり，m で割ったときの剰余が r であるような整数全体の集合を，ma＋r で表わせば，これに属する整数は ma＋r の形になるから，どんな整数でも重複せずに，mG，mG＋1，mG＋2，…，mG＋(m－1) のどれかに属するということを示している。これらを m を法とする剰余類という。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

世界大百科事典（旧版）内の剰余類の言及

【群】より

…そこでKaの形の集合全体を考えると，Gを共通元をもたない部分集合の和に分けることになる。Kaを，Kを法とする右剰余類(“右”は，Kの元によりずらした余りに相当するaが右側にあるから)または左K剰余類(“左”はKが左側にあるから)という。左，右を逆にしたaKの形の部分集合も考えられるが，この左右の区別のいらない場合，すなわち，〈k∈K,a∈Gならば，a^－1ka∈K〉の成り立つとき，KはGの正規部分群であるといい，各Kaを，Kを法とする剰余類という。…

【剰余系】より

…この関係で整数全体をクラス分けすると，m個の類(クラス)に分かれる。これらの類を剰余類といい，この各類から一つずつ元を取り出した組を剰余系という。例えばm＝6とすれば，0,1,2,3,4,5は1組の剰余系である。…

【整数論】より

…整数mに対し，aとbがmを法として合同であるとき同じ組に属するとして，整数全体をm個の組に分けることができる。その組をmを法とする剰余類という。剰余類の中で，法mと互いに素な整数からなる類を既約剰余類という。…

※「剰余類」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

出典｜株式会社平凡社「世界大百科事典（旧版）」