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剰余類 じょうよるい residue class

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

剰余類
じょうよるい
residue class

(1) 群について  H を群 G の1つの部分群,aG の任意の元とするとき,H の任意の元 ha の積 ha のすべてから成る集合 {hahH} を,a による右剰余類といい,Ha で表わす。また積 ah から成る集合を左剰余類といい,aH で表わす。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

剰余類
じょうよるい

整数論の一つの基本概念。mを正の整数とし、整数の集合をZとする。集合Zを次のようなm個の部分集合に分ける。
 C (0)={……,-2m,-m, 0, m, 2m,……}
 C (1)={……,-2m+1,-m+1, 1, m+1, 2m+1,……}
 C (2)={……,-2m+2,-m+2, 2, m+2, 2m+2,……}
       ……………
 C (m-1)={……,-m-1,-1, m-1, 2m-1,……}
正の整数mを与えると、整数の集合Zはこのようなm個の部分集合に分けられ、この部分集合を、mを法とする剰余類という。
 整数abが同じ剰余類に入るとは、abmで割り切れるということであり、ガウスはこれをab(modm)で表し、abmを法として合同であると名づけた。modはmodulusの略で、モジュラスと読む。合同式については次のことが成り立つ。
 ab (modm), cd (modm)
  ならば
 acbd, acbd, acbd (modm)
しかしa/cは整数とは限らないので、割り算については同様なことはいえない。整数abに対してaxbとなる整数xが存在するのは、abの約数のときであるが、axb(modm)となるxが存在するのは、amの最大公約数がbの約数となるときである。合同式で重要なのは、mが素数pのときである。とくに二次の不定方程式に関連して、pと互いに素な整数aに対して
 x2a (modp)
となるxが存在するか否かが問題になる。pが3以上の素数のとき、pと互いに素な剰余類
 C (1),……, C(p-1)
は全部でp-1個あり、(p-1)/2個の剰余類に属する整数aに対して解をもち、そのようなapを法とする平方剰余であるといわれる。なお、素数pについての次の結果はウィルソンの定理として知られている。
 (p-1)!≡-1 (modp)[寺田文行]

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世界大百科事典内の剰余類の言及

【群】より

…そこでKaの形の集合全体を考えると,Gを共通元をもたない部分集合の和に分けることになる。Kaを,Kを法とする右剰余類(“右”は,Kの元によりずらした余りに相当するaが右側にあるから)または左K剰余類(“左”はKが左側にあるから)という。左,右を逆にしたaKの形の部分集合も考えられるが,この左右の区別のいらない場合,すなわち,〈kK,aGならば,a-1kaK〉の成り立つとき,KGの正規部分群であるといい,各Kaを,Kを法とする剰余類という。…

【剰余系】より

…この関係で整数全体をクラス分けすると,m個の類(クラス)に分かれる。これらの類を剰余類といい,この各類から一つずつ元を取り出した組を剰余系という。例えばm=6とすれば,0,1,2,3,4,5は1組の剰余系である。…

【整数論】より

…整数mに対し,abmを法として合同であるとき同じ組に属するとして,整数全体をm個の組に分けることができる。その組をmを法とする剰余類という。剰余類の中で,法mと互いに素な整数からなる類を既約剰余類という。…

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