四元ベクトル（読み）よんげんベクトル（その他表記）four-vector

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

四元ベクトル
よんげんベクトル
four-vector

特殊相対性理論における四次元空間 (ミンコフスキー空間 ) のベクトル。3個の空間成分と1個の時間成分とをもち，ローレンツ変換によって四次元空間の座標 (x，y，z，t) と同じ変換を受ける。三次元空間の速度ベクトルを v とし， とすると，(γv_x，γv_y，γv_z，γ) は四元ベクトルで，これを四元速度という。ただし c は真空中の光速度である。四元速度と静止質量 m₀ との積 (m₀γv_x，m₀γv_y，m₀γv_z，m₀γ) は四元ベクトルで，これを四元運動量という。その時間成分と c² との積は物体の相対論的エネルギーである。三次元空間の力のベクトルを f とすると，(γf_x，γf_y，γf_z，γ(f・v)/c²) は四元ベクトルで，これを四元力という。その時間成分と c² との積は物体になされる仕事率である。電流密度と電荷密度とは四元ベクトルをつくり，四元電流と呼ばれる。電磁波のベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルは四元ベクトルをつくるが，電場ベクトルと磁場ベクトルとは，四元ベクトルの空間成分ではなく，ミンコフスキー空間における2階の反対称テンソルの成分である。

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四元ベクトル (しげんベクトル)
four-vector

相対性理論においては時間は絶対的な意味をもたず，空間座標xⁱ（x¹＝x，x²＝y，x³＝z。x²は2番目のx座標という意味で，xの2乗ではない）と対等な座標であり，x⁰＝ctと書かれる（cは光速度，tは時間）。三次元的な空間ベクトルxⁱにx⁰を加えて，四次元的なベクトルx^μ（μ＝0，1，2，3）を考え，略して四元ベクトルと呼ぶ。ローレンツ変換は，この四元ベクトルに対する一種の回転と考えることができる。四元ベクトルのもう一つの例としては，運動量の3成分pⁱに，エネルギーEをcで割ったものp⁰＝E/cを第4成分として加えたp^μがある。これにローレンツ変換を施すと，運動量とエネルギーが（空間座標と時間が移り変わるように）互いに移り変わることがわかる。質量とエネルギーに関するアインシュタインの関係式は，p^μが四元ベクトルであることから導かれる。
執筆者：藤井 保憲

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