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等差数列 とうさすうれつarithmetic progression (sequence)

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

等差数列
とうさすうれつ
arithmetic progression (sequence)

算術数列ともいう。たとえば,数列 1 ,3,5,7,9,…のように,数列 a1a2a3 ,…,an ,…において,各数 an が,そのすぐ前の数 an-1 に一定数 d を加えることによって得られるとき,すなわち anan-1d を満たす数列であるとき,この数列を等差数列といい,AP と略記する。各数 an をこの数列の項,第1項 a1 を初項,d ( =anan-1 ) を公差という。また d>0 ならば増加数列,d<0 ならば減少数列になる。初項が a1 ,公差が d の等差数列の,初項から第 nana1+(n-1)d までの和 Sn は,Sn=(a1an)・n/2=na1n(n-1)d/2 の公式で求められる。 Sn を単に等差数列の和ということもある。

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世界大百科事典 第2版の解説

とうさすうれつ【等差数列 arithmetic progression】

例えば{3,7,11,15,……}や{4,1,-2,-5,……}のように,隣り合う2数の差が一定である数列を等差数列といい,その一定の差を公差という。上の二つの例では公差はそれぞれ4,-3である。初項(第1項)がa,公差がdである等差数列の第nanana+(n-1)dとなる。また,この等差数列の初項から第n項までの和Snは,で与えられる。等差数列a1,a2,……,an,……の項の順に形式的に加号(+)で結んだ式, a1a2+……+an+……  ……(2) を等差級数arithmetic seriesというが,この無限個の項の和は初項も公差も0(すなわち,すべてのanが0)というつまらない場合を除き発散するから,(2)は具体的な意味をもたない。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

等差数列
とうさすうれつ

ある数に、一定の数を次々に加えていってできる数列。算術数列ともいい、A. P.(arithmetic progression)と書くこともある。最初の数を初項、次々に加える一定数を公差という。初項をa、公差をdとするとき、その第n項anは、
  an=a+(n-1)d
と表される。とくに、三つの数a1,a2,a3が等差数列をなすとき、間の数a2を等差中項という。等差中項は両端の数a1、a3の相加平均(算術平均)で表される。すなわち

である。初項a、公差d、項数nの等差数列の和をSnとすれば、

である。ここでlは、この数列の最後の項(末項という)を表す。とくに、奇数からなる数列1,3,5,……のn項の和はn2である。そして、一般項が項の番号nについての二次式であるような数列b1,b2,……すなわちbn=An2+Bn+Cであるような数列については、その階差数列は等差数列であり、もしここでC=0ならば、bnは、ある等差数列a1,a2,……に対して、そのn項目までの和を表す数列となる。数列a1,a2,……の逆数、すなわち

が等差数列をなすとき、a1,a2,……を調和数列という。とくに、三つの数a1,a2,a3が調和数列をなすとき、a2を調和中項という。これはa1、a3の調和平均

である。[竹之内脩]

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世界大百科事典内の等差数列の言及

【数列】より

…項の番号nに対応してanを定める規則が与えられれば,一つの数列が定義される。例えばa,d,rを定数とするとき,で定義される数列は,それぞれ等差数列,等比数列,調和数列と呼ばれる。また,a1a2が与えられ,an=1/2(an-1an-2)(n≧3)という規則が与えられれば,すべてのanが順次定まるから,一つの数列が定義される。…

※「等差数列」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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