フィボナッチ数（読み）フィボナッチすう（英語表記）Fibonacci sequence

改訂新版　世界大百科事典

フィボナッチ数 (フィボナッチすう)
Fibonacci sequence

漸化式u₀＝0，u₁＝1，……，u_n＝u_n-1＋u_n-2（n＝2，3，4，……）で定まる数列｛u_n｝をフィボナッチ数列，各項をフィボナッチ数という。u₂＝1，u₃＝2，u₄＝3，u₅＝5，u₆＝8，u₇＝13，u₈＝21，u₉＝34，u₁₀＝55である。フィボナッチ，通称ピサのレオナルドは1202年《アバクスの書Liber abaci》を著し，アラビア数字と四則の筆算を取り扱い，ヨーロッパの数学に大きな影響を与えた。この本の中の問題の一つに上述の漸化式に関係するものがあり，それにちなんでフィボナッチ数と名付けられた。フィボナッチ数u_nは定義によりn≧1のとき正の整数であるが，

と表示することができる。ここに現れる2数は互いに逆数であり，黄金分割の比としても現れる。また，

とも表示できる。ここでなどは二項係数を，を超えない最大の整数を表す。θがを満たせば，である。フィボナッチ数の間には種々の関係式が知られている。例えば，

　u₁＋u₂＋……＋u_n＝u_n+2－1

　u₁²＋u₂²＋……＋u_n²＝u_nu_n+1

　u₁³＋u₂³＋……＋u_n³＝1/10（u_3n+2＋（－1）ⁿ⁺¹6u_n-1＋5）

mとnの最大公約数がdであれば，u_mとu_nの最大公約数はu_dである。また平方数であるようなフィボナッチ数は1と144のみである。フィボナッチ数はヒマワリやマツの実の種子の配列など，自然界にしばしば見られる。
執筆者：上野 健爾

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」