チェバの定理（読み）ちぇばのていり

日本大百科全書(ニッポニカ)

チェバの定理
ちぇばのていり

三角形ABCにおいて、頂点と異なる点をPとし、AP、BP、CPが対辺と交わるとき、その交点をそれぞれD、E、Fとすると、各辺を内分あるいは外分する三つの比の積が1になる。すなわち、

である。これをチェバの定理という。イタリアの数学者チェバGiovanni Ceva（1647？―1734）が1678年に発表した定理。この定理の逆も成り立つ。すなわち、三角形ABCの三辺BC、CA、AB上に3点D、E、Fがあり、前述の三つの比の積が1ならば、三直線AD、BE、CFは1点で交わる。ただし、3点のうち二つが辺の延長上にあるときは、頂点と結んでできる三直線が平行となることもある。

　三直線が1点で交わることを示す定理を共点定理というが、チェバの定理の逆はその基本となるものである。三角形の重心、垂心、内心など、チェバの定理の逆を用いて導くことができる。

［柴田敏男］

チェバの定理の証明

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

改訂新版　世界大百科事典

チェバの定理 (チェバのていり)
Ceva's theorem

イタリアのチェバG.Ceva（1647-1734）が発見した次の定理をいう。三角形ABCの辺BC，CA，AB，またはそれらの延長上にそれぞれ点D，E，Fがあり，これらは三角形ABCの頂点でないとする。このとき直線AD，BE，CFが1点で交わるか，または互いに平行になるための必要かつ十分条件は，が成り立つことである。ここに上式の左辺の各分数はD，E，Fが線分BC，CA，ABの内分点であるか外分点であるかに応じて，＋，または－の符号をつけて考えるものとする。
執筆者：中岡 稔

図－チェバの定理

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

チェバの定理
チェバのていり
Ceva's theorem

三角形に関する次の定理をいう。三角形 ABCと，その平面上の1点Pが与えられたとき，三角形の頂点A，B，Cと点Pとを結ぶ3直線が，辺 BC，CA，ABまたはその延長と交わる点をそれぞれX，Y，Zとすれば
が成り立つ。この定理は，1678年に G.チェバによって発見された。この定理が成り立つときは，逆に，AX，BY，CZ は1点で交わるか，あるいは平行である。チェバの定理は次のような式でも表わすことができる。
これはまた，A，B，Cに重みをおいたときに，Pを重心として，つまり重心座標で考えていることにあたる。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典