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概周期関数 がいしゅうきかんすう almost periodic function

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世界大百科事典 第2版の解説

がいしゅうきかんすう【概周期関数 almost periodic function】

周期関数の理論は,1924年にボーアH.Bohrによって展開されたもので,周期関数の概念の拡張とみなされる。ボーアによる概周期関数の定義は次のとおり。 すなわち,数直線上で定義された複素数値連続関数fについて,正の数εに対して,|f(x+τ)-f(x)|≦εがすべてのxに対して成り立つような定数τのことを,εに属するfの概周期という。任意の正数εに対して適当な正の数lεを選ぶと,数直線上で長さlεの区間をどのようにとっても,εに属する概周期がその区間に含まれているならば,fを概周期関数という。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

概周期関数
がいしゅうきかんすう

1924年、オランダのボーアが周期関数の拡張として導入した関数。実軸上の複素関数f(x)が周期ωをもつとは、f(x+ω)=f(x)がすべてのxで成り立つことである。この拡張として、正の数εに対し、
  |f(x+τ)-f(x)|<ε
がすべてのxで成り立つとき、τをεに属するf(x)の概周期という。連続関数f(x)が概周期関数とは、任意のε>0を与えたとき、正の数Lεが決まり、長さLεの任意の区間が、εに属する概周期を含むことで定義する。周期ωの周期関数は概周期関数の特別な場合であることは、ωがε=0のときの概周期であることと、L0をωにとればわかる。
 概周期関数f(x)に対し、その平均値

が決まり、しかも、この値はaのとり方に無関係である。また、eiλx=cosλx+isinλxとすると、
  M(eiλx)=1 (λ=0);
  M(eiλx)=0 (λ≠0)
だから、関数族{eiλx;-∞<λ<∞}は内積を

で定義すると、この内積に関し正規直交系となり、概周期関数f(x)に対し、
  a(λ)=〈f,eiλx
     =M(f(x)e-iλx)
と置くと、a(λ)≠0となるλは、たかだか可算個であり、それをλ(1),λ(2),……とし、an=a(λ(n))とすると、

と展開できる。これは周期関数のフーリエ級数の拡張となっている。[洲之内治男]

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