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周期関数 しゅうきかんすう periodic function

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

周期関数
しゅうきかんすう
periodic function

p を0でない定数として,すべての実数あるいは複素数 x に対して定義される関数 f(x) が,常に f(xp)=f(x) を満たすとき,関数 f(x) を周期関数,p をその周期という。周期 p の正の最小値 (厳密には周期全体のなす加群の生成元) を基本周期という。

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デジタル大辞泉の解説

しゅうき‐かんすう〔シウキクワンスウ〕【周期関数】

周期的に変動する関数。関数fx)のうちで、すべてのxに対してfxk)=fx)となる正の定数kがあるとき、fx)を、kを周期とする周期関数であるという。三角関数など。

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世界大百科事典 第2版の解説

しゅうきかんすう【周期関数 periodic function】

実数xの関数sinxはsin(x+2π)=sinxという性質がある。すなわち,xが2πだけ変化するごとにsinxは同じ値をとるので,xの変化によって関数sinxは周期的に変化する。このように一般に関数f(x)に対して一つの0でない定数ωがあって恒等的にf(x+ω)=f(x)が成立するときに,関数f(x)は周期関数であるといい,ωをその周期という。実変数の周期関数には,正の周期の最小のものがある。それを基本周期という。

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大辞林 第三版の解説

しゅうきかんすう【周期関数】

三角関数のように、変数が一定の値だけ変化した時、関数の値がもとの値と同一の値をとる関数。式で書くと f x )=f x a )となる関数 f x )。また一定の値 a を周期という。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

周期関数
しゅうきかんすう
periodic function

実数全体について定義された関数f(x)に対して、すべてのxについてf(xp)=f(x)を満たす正の数pがあるとき、f(x)はpを一つの周期にもつ周期関数であるという。f(x)が一つの周期関数であるとき、周期はたくさんあるが、f(x)が定数でない関数で、ある点で連続ならば、周期のうちに最小の数があり、他の周期はこれの自然数倍となる。この最小の周期をf(x)の基本周期という。周期関数の代表的なものは三角関数である。sinx, cosxは2πを基本周期とする。tanxの基本周期はπである。一般の周期関数は、適当な条件のもとで、フーリエ級数として、sin, cosを用いて表すことができる。
 複素平面上でも同様に、周期関数を定義することができる。定数でない関数f(z)に対して、すべてのzについて、f(z+ω)=f(z)を満たすω≠0があるとき、f(z)はωを一つの周期とする周期関数であるという。f(z)が一つの周期関数であるとき、f(z)の周期全体は、複素数の加法に関して群をつくる。f(z)がある点で連続ならば、次の二つの場合がおこる。(1)あるω1≠0があって、周期はすべてω1の整数倍になる。(2)あるω1、ω2があって、ω1、ω2の比は実数でなく、かつ周期はすべてn1ω1n2ω2n1n2は整数)と表すことができる。
 (1)の場合は単一周期関数であるという。ezはその代表的な例で、2πiを基本周期とする。(2)の場合は二重周期関数であるという。二重周期を有する有理形関数を楕円(だえん)関数という。これについては、19世紀以来、非常に詳しい研究がなされ、代数関数論のなかの重要な話題である。[竹之内脩]

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