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内積 ないせき inner product

翻訳|inner product

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

内積
ないせき
inner product

(1) ベクトルの内積 二つのベクトルの積の一種であり,スカラー積ともいう。二つの n次元ベクトルを x=(xi),y=(yi)(i=1 ,2,…,n)とするとき,内積は xyx1y1x2y2+…+xnyn で定義される。

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デジタル大辞泉の解説

ない‐せき【内積】

二つのベクトルの単位座標ベクトルに関する成分どうしの積の和。ベクトル, があって、二つのなす角をθとするとき、||||cosθの値をいう。=(a1, a2), =(b1, b2)と成分表示するとき、内積はa1b1a2b2の値になる。スカラー積

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百科事典マイペディアの解説

内積【ないせき】

スカラー積とも。二つのベクトルA,Bの大きさを|A|,|B|,その間の角をθとすると,|A|・|B|cos θで表されるスカラー量をベクトルA,Bの内積といい,A・B,(A,B)などと書く。
→関連項目ヒルベルト空間ベクトル

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大辞林 第三版の解説

ないせき【内積】

〘数〙 二つのベクトル のなす角を θ とする時、||・|| cos θ を内積という。二つのベクトルが直交することと、内積の値が 0 となることとは同値である。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

内積
ないせき

スカラー積ともいう。二つのベクトルの単位座標ベクトルに関する成分どうしの積の和をいう。たとえば三次元空間における内積とは、以下のようにして定まる実数値のことである。いま空間に単位座標ベクトルe1、e2、e3を定め、ベクトルの成分はこれに関して表すものとする(図A)。二つのベクトル
 a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)
の内積(a,b)は、
  (a,b)=a1b1+a2b2+a3b3
で定義される。aとbが0でないとき、それらのなす角をθとすれば、余弦定理によって
  (a,b)=|a||b|cosθ
が成り立つ(図B)。とくに、(a,a)=|a|2である。さらに、aとbが垂直であるとき(a,b)=0となり、a、bが単位ベクトルのとき(a,b)=cosθとなる。たとえば、いまe1、e2、e3を単位座標ベクトルとしているが、このことは、
  (ei,ei)=1, (ei,ej)=0
  (i,j=1,2,3 i≠j)
と書き表すことができる。このような性質をもつ座標ベクトルの組は、また内積に関する一つの正規直交系であるともいわれる。内積については次の法則が成り立つ。
(1)(a,a)≧0
  もし(a,a)=0なら、a=0である
(2)(a,b)=(b,a)
(3)任意のスカラーkに対して
  (ka,b)=k(b,a)
(4)(a+b,c)=(a,c)+(b,c)
 これを一般化して、ベクトル空間の任意のベクトルa、bに対して実数(a,b)が定められていて、上の条件を満たすとき、(a,b)はaとbの内積という。
 一方、単位座標ベクトルe1、e2、e3が右手系をなすとき、二つのベクトル
 a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)
に対して、これから定まる
 (a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,
  a1b2-a2b1)
というベクトルをaとbの外積またはベクトル積といい、a×bと書く。a、bの一方が他方のスカラー倍になっているとき、a×b=0となる。そうでないとき、外積a×bは次のようにしてa、bから図形的に定まるベクトルになっている。図Bにおいて、a=,b=として、右ねじを平面OABのOのところに立てる(したがって、ねじはこの面に垂直となる)。このねじをaからbへ180度以内で回したとき、ねじの進む方向に点Cをとり、OCの長さがOA,OBを2辺とする平行四辺形の面積|a||b|sinθ(θ=∠AOB)に等しくなるようにする。このとき、a×b=と表せる。外積については次の法則が成り立つ。
(a)a×b=-b×a
(b)任意のスカラーkに対して
  (ka)×b=k(a×b)
(c)(a+b)×c=a×c+b×c
 また、内積と外積について次のような代表的な関係式がある。
(イ)a×(b×c)=(a,c)b-(a,b)c
(ロ)(a,b×c)=(b,c×a)=(c,a×b)[高木亮一]

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世界大百科事典内の内積の言及

【スカラー積】より

…平面のベクトルabを成分で書いて,a=(a1,a2),b=(b1,b2)とする。このとき,(ab)=a1b1a2b2abのスカラー積,または内積という。このスカラー積については,(1)(abc)=(ac)+(bc),(2)(ba)=(ab),(3)スカラーαについて,(αa,b)=α(ab),(4)a≠0ならば(aa)>0が成立する。…

【ベクトル】より

…一次独立なベクトルabcが与えられれば,かってなベクトルはαa+βb+γcと書ける。 二つのベクトルの内積を|a||b|cos(∠QPR)と定め,(ab)またはabで表す。(ab)=(ba),(abc)=(ac)+(bc),実数αについて,(αab)=α(ab)が成立する。…

【ベクトル空間】より

… 一般に集合Vにスカラー倍,和が定まって,上記(1)~(8)を満たすとき,Vはベクトル空間であるといい,Vの元をベクトルと呼ぶ。ベクトル空間Vの任意の二元abについて,実数(ab)が定まり,(abc)=(ac)+(bc),(ab)=(ba),(αab)=α(ab),さらに(aa)=0ならば,a0であるという性質をもつとき,(ab)をabの内積という。この内積に関するベクトルaの長さ|a|はと定める。…

【ユニタリ変換】より

U*UUU*=1(単位行列)なる正方行列Uをユニタリ行列といい,ユニタリ行列で表されるCnの一次変換φをユニタリ変換という。Cnの二つのベクトル,に対して,xyとの内積といい,また,xの長さという。ユニタリ変換φは内積および長さを不変にする。…

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