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母関数 ぼかんすう generating function

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

母関数
ぼかんすう
generating function

べき級数 y(t)=Σantn を与えれば,数列 {an} が定まる。この場合 y(t) を,数列 {an} に対する母関数という。

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世界大百科事典 第2版の解説

ぼかんすう【母関数 generating function】

生成関数ともいう。べき級数と数列{an}は1対1に対応する。g(t)を数列{an}に対する母関数という。数列{an}の諸性質を直接議論するかわりに母関数を用いると簡明であることが多い。より一般に,関数列{fn(x)}に対し,ある変域のx,tに対して収束するを母関数という。母関数はラプラス変換やフーリエ変換として定義することが多い。母関数のうちでとくに確率変数xの関数θxの期待値でθ=etとしたものは積率母関数,θ=eit(i虚数単位)としたものは特性関数という。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

母関数
ぼかんすう
generating function

数列a0,a1,……,anに対しtの関数

をその母関数という。たとえば(1+t)mは二項係数

の母関数である。同様に無限数列anや関数列fn(x)に対し、それぞれ

をその母関数という。また

を数列anの指数的母関数といい、関数列についても同様である。
 応用上重要な母関数としては、

などがある。Bn,Enはそれぞれベルヌーイ数、オイラー数であり、Pn(x),Jn(x)はそれぞれルジャンドルの多項式、ベッセル関数である。母関数が知られていれば、数列や関数列の積分表示を与えることができる。たとえば、関数列fn(x)について

が成り立つ。ここで積分は複素積分で、Cは原点を中心とする正の向きの十分小さな円周である。また、母関数を用いて数列や関数列の間の関係が簡明に求まることがある。たとえばベルヌーイ数について、その母関数から

だから、両辺に(n+1)!を掛けてtnの係数を比較することにより、

という関係式を得る。[小林良和]

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