ベルヌーイ数（読み）ベルヌーイすう（英語表記）Bernoulli number

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

ベルヌーイ数
ベルヌーイすう
Bernoulli number

自然数のべきの和を求める多項式 (ベルヌーイの多項式) の展開に伴って見出される有理数で，J.ベルヌーイ (1世) にちなんでこう呼ばれる。 x/(e^x－1) をべき級数に展開し，x/(e^x－1)＝ΣB'_n(xⁿ/n!)＝B'₀＋B'₁(x/1!)＋B'₂(x²/2!)＋… としたときの係数として現れ，B'₀＝1，B'₁＝－1/2，B'₂＝1/6，B'₃＝0，B'₄＝－1/30，B'₅＝0，B'₆＝1/42，… である。しかし，一般に応用数学の分野では，ベルヌーイ数を B_n とすると，B_n＝(－1)^n-1B'_2n とおいて，B_n＝2(2n)!ζ(2n)/(2π)²ⁿ ( ζ はゼータ関数) で表わされ，B₁＝1/6，B₂＝1/30，B₃＝1/42，B₄＝1/30，B₅＝5/66，… とされる。すなわち符号因子 (－1)ⁿ をつけることによってすべてを正の有理数にするのである。これらの数をベルヌーイ数という。

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