アフィン空間（読み）アフィンくうかん（英語表記）affine space

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

アフィン空間
アフィンくうかん
affine space

疑似空間ともいう。その空間の上の移動が，ベクトルとして考えられる空間のことである。数学的に厳密に定式化するには，次のようにする。点集合 A と n 次元ベクトル V を考え，A の任意の2点 P₁ ，P₂ (順序も考える) に対して，V の 1 つのベクトル を次のように対応させるとき，集合 A は n 次元アフィン空間と呼ばれる。
(1) ( 0 は零ベクトル) が成立するための必要十分条件は，P₁ ，P₂ が一致することである。
(2) 集合 A の任意の3点 P₁ ，P₂ ，P₃ に対して， が成り立つ。
(3) 集合 A の任意の点 P₁ と V の任意のベクトル a について， が成り立つような A の点 P₂ が存在し，これが一意的に定まる。
V は A に付随する基本ベクトル空間と呼ばれる。特に, 付随する基本ベクトル空間がユークリッドベクトル空間であるようなアフィン空間をユークリッド空間という。ユークリッド空間の2点 P₁ ，P₂ の距離は，ベクトル の長さ ｜a｜ であると定義する。アフィン空間 A の部分集合 B ( B は空集合でないとする) が，部分アフィン空間であるとは，B の点 P に対応して定まるベクトル ( O は B の定点) の全体が，ベクトル空間となる場合である。たとえば, 3次元アフィン空間の，1次元および2次元部分アフィン空間は，普通の空間の直線および平面である。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典