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ボレル集合 ボレルしゅうごうBorel set

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

ボレル集合
ボレルしゅうごう
Borel set

平面上で,正方形全体の集合を考え,これらから出発して,可算個の合併集合,可算個の共通集合,また補集合をつくるという3種類の操作によってつくりだされる集合。積分論確率論で重要な役割を演じる。

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世界大百科事典 第2版の解説

ボレルしゅうごう【ボレル集合 Borel set】

n次元ユークリッド空間Rnにおいて,1点xからの距離がある正の数rより小さい点の全体を,xを中心とする半径rの開球という。開球の任意個数(有限個でも無限個でもよい)の合併として表される集合を開集合といい,開集合Gの余集合FRnGを閉集合という。Rnにおける開集合はたかだか可算無限個の開球の合併で表されることが知られている。開集合の任意個数の合併は開集合であるが,開集合の可算無限個の共通部分は必ずしも開集合でない。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

ボレル集合
ぼれるしゅうごう
Borel set

直線上の[a,b)の形の半開区間、また平面上の[a1,b1)×[a2,b2]の形の半開区間をIとする。このような半開区間からIの補集合Ic、および可算個のInから和集合∪Inをつくることにより得られる集合の全体をボレル集合族といい、それに属する集合をボレル集合という。
 明らかに半開区間には、その長さまたは面積が決定できる。よって、それから生成される完全加法的な測度を考えると、ボレル集合は可測になり、測度が定義される。
 なお開集合は半開区間の可算個の和集合として表されるから、ボレル集合は開集合から生成される完全加法的な集合族と定義してもよい。
 以上の定義はn次元空間にもそのまま拡張される。[洲之内治男]

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