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余弦定理 ヨゲンテイリ

デジタル大辞泉の解説

よげん‐ていり【余弦定理】

三角形の角と辺の関係を示す定理。三角形の頂点A・B・Cの対辺をそれぞれabcとするとき、abcosC+ccosB, bacosC+ccosA, cacosB+bcosA(第1余弦定理)、また、a2b2c2-2bccosA, b2c2a2-2cacosB, c2a2b2-2abcosC(第2余弦定理)が成り立つ。一般には第2余弦定理をいう。余弦法則

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百科事典マイペディアの解説

余弦定理【よげんていり】

三角形ABCの頂角A,B,Cの対辺の長さをa,b,cとするとき成り立つ次の公式。 a=bcos C+ccos B,b=ccos A+acos C,c=acos B+bcos A(第1余弦定理) a2=b2+c2−2bccos A,b2=c2+a2−2cacos B,c2=a2+b2−2abcos C(第2余弦定理)→正弦定理三角法

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世界大百科事典 第2版の解説

よげんていり【余弦定理 cosine formula】

三角形ABCの内角A,B,Cの対辺をa,b,cとするとき,平面三角形については,(1)abcosCccosB,bccosAacosC,cacosBbcosAおよび,(2)a2b2c2-2bccosA,b2c2a2-2cacosB,c2a2b2-2abcosCが成り立つ。(1)を第1余弦定理といい,(2)を第2余弦定理という。また,半径1の球面上における球面三角形については,cosa=cosbcosc+sinbsinccosA,cosb=cosccosa+sincsinacosB,cosc=cosacosb+sinasinbcosCが成り立つ。

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大辞林 第三版の解説

よげんていり【余弦定理】

〘数〙 三角形の頂点を A 、 B 、 C 、これに対する辺を a b c とする時、a 2b 2c 2-2b c cosA などをいう。

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

余弦定理
よげんていり
law of cosines

平面上の三角形において,辺の長さと内角の余弦(コサイン。→三角関数)の間に成り立つ関係の定理。三角形 ABCにおいて,各辺の長さを a=BC,b=CA,c=AB,またα=∠CAB としたとき,余弦定理は,

a2b2c2-2bc cosα

と表される。特にαが直角のときは cosα=0 となるので,余弦定理の特別な場合としてピタゴラスの定理(三平方の定理)a2b2c2が得られる。余弦定理により,3辺の長さが与えられた三角形の内角の余弦を求めることができ,2辺の長さとそのなす角の余弦が与えられると,もう一つの辺の長さを求めることができる。また,球面上の三角形については次のように記述される。球面上の大円の弧で囲まれた三角形についての余弦定理は,球の半径を 1とおき,平面上の三角形と同じ記号を用いると,

cosa=cosb cosc+sinb sinc cosα

と表される(→球面幾何学)。

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