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三角関数 さんかくかんすう trigonometric function

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

三角関数
さんかくかんすう
trigonometric function

円関数ともいう。直交座標系 O-xy において,Ox を始線,また O を中心として回転する定線分 OP=r を考えて,これを動径と呼ぶ。いま動径 OP が始線から左回りに回転して得られる角の大きさを θ ,P の座標を (xy) とすれば,θ の関数 sin , costancosec , sec , cot は,次のように定義される。

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デジタル大辞泉の解説

さんかく‐かんすう〔‐クワンスウ〕【三角関数】

座標原点Oを中心とする単位円(半径r=1)と、角θ(シータ)が定める動径との交点をP(x,y)とするとき、角θについて、xyとで表される関数の総称。サイン正弦関数)・コサイン余弦関数)・タンジェント正接関数)・コタンジェント余接関数)・セカント正割関数)・コセカント余割関数)の六つをさす。直角三角形における三角比一般角に拡張したもの。円関数。

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百科事典マイペディアの解説

三角関数【さんかくかんすう】

円関数とも。直角三角形の3辺間に成立する比(三角比)を一つの角の関数と考えたもの。サインsin,コサインcos,タンジェントtan,コタンジェントcot,セカントsec,コセカントcosecの六つ。
→関連項目コサインコセカントコタンジェントサインサインバー三角形正弦波セカント双曲線関数タンジェント

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世界大百科事典 第2版の解説

さんかくかんすう【三角関数 trigonometric function】

三角関数は,最初は直角三角形の一つの鋭角によって定まる辺の長さの比,いわゆる三角比として定義せられ,それが一般の角に拡張された。それらに関して後述の加法定理などの性質や,別の項目で述べられる三角形の正弦定理余弦定理が導かれ,古くから測量問題などに応用された。現代では,三角形という図形的意味とは独立に,数学の研究対象としての地位を確立し,解析学において重要な関数となっている。
[三角比]
 ∠C=90゜の直角三角形ABCにおいて,次の6個の比の値は,角Aの大きさのみで定まり,直角三角形ABCの大きさには無関係である(図1)。

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大辞林 第三版の解説

さんかくかんすう【三角関数】

直角三角形の直角でない角の一つを θ とすると、三辺相互の比の値は θ により定まる。これを角 θ の三角比といい、sin θ=BC/AB cos θ=AC/AB tan θ=BC/AC cot θ=AC/BC sec θ=AB/AC cosec θ=AB/BC と表し、それぞれ θ の正弦(サイン)、余弦(コサイン)、正接(タンジェント)、余接(コタンジェント)、正割(セカント)、余割(コセカント)という。これらを角 θ の関数とみたとき、三角関数という。三角関数の概念は、 θ が一般角の場合にも拡張される。すなわち、x y 座標において、点 P(x , y )と原点 O との距離を r 、半直線 OP(動径)と x 軸がなす角を θ とし、半直線 OP が回転するとき、 x y r の比は θ の関数となる。円関数。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

三角関数
さんかくかんすう
trigonometric function

直角三角形の辺の比を表す三角比を拡張したもので、任意の角に対して定義される関数である。
 角は1点Oから出る二つの半直線によって定められる図形であるが、その大きさを決めるため次のように考える。二つの半直線のうち一方を固定して始線とよび、他方は、始線の位置にあった半直線がOを中心として回転して現在の位置まできたものとみる。この半直線を動径という。回転は左回りを正と考え、原点を1回りすれば360度と数える。このようにして、動径の現在位置には、360度の整数倍だけ異なるいろいろな大きさの角が対応することになる。また任意の実数値に対して、それに対応する動径の位置が定まる(図A)。一つの円において、中心角の大きさとそれに対応する弧の長さは比例する。円の半径に等しい長さの弧に対する中心角を1ラジアンとよび、これを単位として角を測る方法が弧度法である。半径rの円周の長さは2πrだから、360度は2πラジアンに相当する。日常生活では度、分、秒を用いる方法が一般的であるが、数学ではもっぱら弧度法が用いられる。そして通常は単位名のラジアンを省略することが多い。ラジアンの呼称は19世紀後期、ジェームズ・トムソンJames Thomsonによって初めて用いられた。
 直交座標を定めた平面上において、x軸の正の部分を始線にとり、角の大きさθに対する動径上に1点Pをとる。OP=r(r>0)とし、点Pの座標を(x,y)とすれば、以下の六つの比、x/r, y/r, y/x, x/y, r/x, r/yは、動径上のPの位置には無関係で、θだけによって定まる。これらをθの三角関数といい、次のようによぶ(図B)。
  x/r=cosθ
  (コサインθ、余弦)
  y/r=sinθ
  (サインθ、正弦)
  y/x=tanθ
  (タンジェントθ、正接)
  x/y=cotθ
  (コタンジェントθ、余接)
  r/x=secθ
  (セカントθ、正割)
  r/y=cosecθ
  (コセカントθ、余割)
 原点Oを中心とする半径1の円を単位円というが、cosθ, sinθは角の大きさθに対する動径と円周との交点のx座標、y座標である。このことから、これらの関数は円関数ともよばれる。これら各関数のグラフは図Cに示したとおりである。sinθのグラフの曲線は正弦曲線、あるいはサイン・カーブの名で知られる。[竹之内脩]

三角関数の性質

以後、点PはOP=r=1となるようにとる。すると点Pは動径の現在ある位置のみによって定まり、それが原点の周りを何回転したかには無関係である。このことから、sinθ, cosθはθに2πの整数倍を加えても、その値が変わらないことが知られる。すなわち、これらの関数は、360度あるいは2πを周期とする周期関数である。そのほかの諸関係を表1に示す。次に、cosθ, sinθが単位円周上の点Pのx座標、y座標であることから、ピタゴラスの定理(三平方の定理)によってcos2θ+sin2θ=1が得られる。このほかの諸関係を表2に示す。なおcos2θは(cosθ)2の意味である。
 sin(θ+)をsinθ, cosθ, sin,cosによって表す式などを加法定理という。そして、これらから種々の公式が導かれる。それらを表3に示す。これらの公式を用いると、次のド・モアブルの定理が導かれる。
  (cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
ここで、nは整数、iは虚数単位を表す。三角関数の導関数を求めるにあたっては、極限関係

が基本的である。それぞれの関数の導関数、不定積分は表4のようになる。
 xAsinct, Acosctは、微分方程式
  d2x/dt2=-c2x
を満足する。この微分方程式は、x軸を動く質点が、原点から、その距離に比例する引力を受けるときの質点の運動方程式であり、その運動は、原点を中心とする振幅2A、周期c/2πの往復運動となる。これは、運動のなかの基本的なものと考えられ、これを単振動という。振動現象は、調和解析によって振幅、周期を異にする単振動の重ね合わせとみられる。
 ラジアンで表されたθについての各関数の展開式を表5に示す。
 ド・モアブルの定理からも示唆されるように
  eiθ=cosθ+isinθ
によって、数eの複素累乗を定義すると、これは、累乗関数の性質eiθeiei(θ+)をもつことがわかる(eは自然対数の底(てい))。この式をオイラーの公式という。そして、一般の複素数z=α+iβについて、
  ez=eαeiβ
   =eα(cosβ+isinβ)
と定めると、ezはすべてのzについて表6に示したような展開をもつ関数となり、eの累乗関数の複素数指数への自然な拡張となる。[竹之内脩]

三角関数の歴史

6種の三角関数を対等に扱うことは、16世紀ビエタに始まるとされる。三角関数の積和公式は10世紀ころからすこしずつ知られるようになった。これは、航海術、天文学における球面三角形の解法に際して、やっかいな積の計算を和で置き換えるために重要なものであった。しかし、17世紀初めの対数の発見により、積を直接計算することが容易にできるようになって、その意味は失われた。三角関数の値を計算するのは、加法定理と図形に頼っていたが、ニュートンが展開式を示し、18世紀初めシャープAbraham Sharp(1651―1742)がこれを用いて製表して以来、展開式が用いられるようになった。現在では、必要な桁(けた)数まで正確に計算するための多項式による計算法その他が案出され、これらは集積回路(IC)に組み込まれて、容易にその値が算出される。[竹之内脩]

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世界大百科事典内の三角関数の言及

【平面三角法】より

…Pの座標が(a,b)で線分OPの長さがrならば,6個の比b/r,a/r,b/a,a/b,r/a,r/bはPのとり方によらずαによって定まる。それで,これらをそれぞれsinα,cosα,tanα,cotα,secα,cosecαで表して,∠αのサイン(正弦),コサイン(余弦),タンジェント(正接),コタンジェント(余接),セカント(正割),コセカント(余割)と呼び,総称して三角比,またはαの関数と考えて三角関数と呼ぶ。平面三角法とは三角関数に関する諸公式,三角関数を用いて書き表される三角形の辺と角に関する諸公式およびそれらの測量などへの応用を学ぶ学科である。…

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