因数定理（読み）インスウテイリ（英語表記）factor theorem

デジタル大辞泉

いんすう‐ていり【因数定理】

多項式f（x）においてf（a）＝0ならばf（x）はx－aを因数にもつ、という定理。剰余定理。

出典　小学館

精選版 日本国語大辞典

いんすう‐ていり【因数定理】

1. 〘 名詞 〙 代数学における定理の一つ。「x についての整式 f(x) が x-a で割り切れるための必要十分条件は、f(a)=0 であることである」というもの。剰余定理。

出典　精選版 日本国語大辞典

改訂新版　世界大百科事典

因数定理 (いんすうていり)
factor theorem

1変数の多項式f（x）＝a₀xⁿ＋a₁xⁿ⁻¹＋……＋a_nは，f（α）＝0となるとき，かつそのときに限りx－αで割り切れる。これを因数定理と呼ぶ。例えば，f（x）＝x³－6x²＋11x－6について，f（1）＝0であるから，f（x）はx－1を因数にもつ。因数定理は剰余定理の特別な場合であり，多項式の因数分解を求めるとき使われる。

　多変数の多項式，例えば，x，y，zを含む多項式g（x，y，z）についても，xを変数と考えると，因数定理が成り立つ。y，zの多項式h（y，z）について，g（h（y，z），y，z）＝0のとき，かつそのときに限りg（x，y，z）はx－h（y，z）で割り切れる。例えば，g（x，y，z）＝x³＋x²z－x²y＋xy－xyz－y²でxにyを代入すると，g（y，y，z）＝y³＋y²z－y³＋y²－y²z－y²＝0となるから，g（x，y，z）はx－yで割り切れる。
執筆者：杉江 徹

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

日本大百科全書(ニッポニカ)

因数定理
いんすうていり

xの整式f(x)が一次因数x－αをもつための必要十分条件はf(α)＝0である。これを因数定理または整除定理という。たとえば、
　　f(x)＝2x³－5x²－4x＋3
において、f(3)＝0だから、f(x)は因数x－3をもつ。事実、
　　f(x)＝(x－3)(2x²＋x－1)
となる。また、
　　f(x)＝x⁴＋ma²x²－5a³x＋a⁴
がx－aで整除される（割り切れる）ようにmの値を定めたいとき、f(a)＝0と置くと、
　　(m－3)a⁴＝0
　すなわちm＝3またはa＝0を得る。aがゼロのときは明らかに成り立つ。m＝3のときは、
　　f(x)＝(x－a)(x³＋ax²＋4a²x－a³)
となる。

　因数定理は因数分解や方程式（三次以上）の解法に応用される。たとえば三次方程式における三次式の一次因数が求められれば、ほかの2根は二次方程式を解いて求められる。因数定理の一般化として、余りの（剰余）定理がある。すなわち、「xの整式f(x)を一次式x－αで除したときの余り（定数）はf(α)に等しい」。

［竹内芳男］

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

因数定理
いんすうていり
factor theorem

剰余定理によれば，x の整式 P(x) が x－α で割切れるための必要十分条件は，P(α)＝0 である。すなわち，P(α)＝0 ならば，P(x) は x－α で割切れ，因数 (x－α) をもつ。これを因数定理ともいう。この定理は，高次の整式の因数分解に用いられる。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

世界大百科事典（旧版）内の因数定理の言及

【剰余定理】より

…とくにf(a)＝0のとき，f(x)はx－aで割りきれる。この場合を因数定理と呼んでいる。一般にn変数x₁，……，x_nの多項式，f(x₁，……，x_n)についてf(x₁，……，x_n)をx₁の多項式と考えると，x₁の一次式x₁－g(x₂，……，x_n)でf(x₁，……，x_n)を割ったときの余りはf(g(x₂，……，x_n)，x₂，……，x_n)で与えられる。…

※「因数定理」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

出典｜株式会社平凡社「世界大百科事典（旧版）」