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因数定理 いんすうていり factor theorem

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

因数定理
いんすうていり
factor theorem

剰余定理によれば,x の整式 P(x) が x-α で割切れるための必要十分条件は,P(α)=0 である。すなわち,P(α)=0 ならば,P(x) は x-α で割切れ,因数 (x-α) をもつ。これを因数定理ともいう。

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デジタル大辞泉の解説

いんすう‐ていり【因数定理】

多項式fx)においてfa)=0ならばfx)はxaを因数にもつ、という定理。剰余定理

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世界大百科事典 第2版の解説

いんすうていり【因数定理 factor theorem】

1変数の多項式f(x)=a0xna1xn-1+……+anは,f(α)=0となるとき,かつそのときに限りx-αで割り切れる。これを因数定理と呼ぶ。例えば,f(x)=x3-6x2+11x-6について,f(1)=0であるから,f(x)はx-1を因数にもつ。因数定理は剰余定理の特別な場合であり,多項式の因数分解を求めるとき使われる。 多変数の多項式,例えば,x,y,zを含む多項式g(x,y,z)についても,xを変数と考えると,因数定理が成り立つ。

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大辞林 第三版の解説

いんすうていり【因数定理】

代数の定理の一。 x の多項式 f x )が一次式 x -a で割り切れるための必要十分条件は f a )=0 であるという定理。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

因数定理
いんすうていり

xの整式f(x)が一次因数x-αをもつための必要十分条件はf(α)=0である。これを因数定理または整除定理という。たとえば、
  f(x)=2x3-5x2-4x+3
において、f(3)=0だから、f(x)は因数x-3をもつ。事実、
  f(x)=(x-3)(2x2+x-1)
となる。また、
  f(x)=x4+ma2x2-5a3x+a4
がx-aで整除される(割り切れる)ようにmの値を定めたいとき、f(a)=0と置くと、
  (m-3)a4=0
 すなわちm=3またはa=0を得る。aがゼロのときは明らかに成り立つ。m=3のときは、
  f(x)=(x-a)(x3+ax2+4a2x-a3)
となる。
 因数定理は因数分解や方程式(三次以上)の解法に応用される。たとえば三次方程式における三次式の一次因数が求められれば、ほかの2根は二次方程式を解いて求められる。因数定理の一般化として、余りの(剰余)定理がある。すなわち、「xの整式f(x)を一次式x-αで除したときの余り(定数)はf(α)に等しい」。[竹内芳男]

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世界大百科事典内の因数定理の言及

【剰余定理】より

…とくにf(a)=0のとき,f(x)はxaで割りきれる。この場合を因数定理と呼んでいる。一般にn変数x1,……,xnの多項式,f(x1,……,xn)についてf(x1,……,xn)をx1の多項式と考えると,x1の一次式x1g(x2,……,xn)でf(x1,……,xn)を割ったときの余りはf(g(x2,……,xn),x2,……,xn)で与えられる。…

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