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必要十分条件 ひつようじゅうぶんじょうけんnecessary and suffıcient condition

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

必要十分条件
ひつようじゅうぶんじょうけん
necessary and suffıcient condition

命題Pが真であれば命題Qも必ず真であるとき,命題Pは命題Qを導くといって P→Q と書き,QをPであるための必要条件 (PであるためにQで「なければならない」) ,PをQであるための十分条件 (QであるためにPで「あればよい」) という。もし P→Q と同時に Q→P も成り立てば,PはQであるための必要条件であり,QはPであるための十分条件である。したがってこの場合には,PはQであるための必要条件であると同時に十分条件でもある。このような場合,PはQであるための必要十分条件であるといい P⇔Q と書く。PがQであるための必要十分条件であれば,QはPであるための必要十分条件である。この場合,PとQは同値であるという。

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デジタル大辞泉の解説

ひつようじゅうぶん‐じょうけん〔ヒツエウジフブンデウケン〕【必要十分条件】

ある事柄が成立するための必要にして十分な条件。命題「AならばB」と命題「BならばA」が同時に成り立つとき、BはA(またはAはB)の必要十分条件という。

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世界大百科事典 第2版の解説

ひつようじゅうぶんじょうけん【必要十分条件 necessary and sufficient condition】

二つの条件p,qについて,〈pならばq〉が真であるとき,pqの十分条件であるといい,また,qpの必要条件であるという。例えば,△ABCについて,〈それが正三角形である〉ことをpとし,〈それが二等辺三角形である〉ことをqとすれば,その例になる。pqの必要条件であり,かつ十分条件であるとき,すなわち,pqとが同値であるとき,pqの必要十分条件であるという。例えば,△ABCにおいて,〈∠ABC=∠BCA=60゜〉は〈△ABCが正三角形である〉ための必要十分条件である。

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大辞林 第三版の解説

ひつようじゅうぶんじょうけん【必要十分条件】

ある事柄が成り立つためには、必ずなくてはならない条件(必要条件)と、その条件が成り立つときに必ずある事が成り立つような条件(十分条件)の二つを兼ね備えた条件。「 p ならば q 」と「 q ならば p 」の命題がともに真のとき、 p q の(または q p の)必要十分条件である。必要にしてかつ十分な条件。同値。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

必要十分条件
ひつようじゅうぶんじょうけん
necessary and sufficient condition

「pならばqである」という命題が真であるとする。つまり、pが真であるすべての場合について、いつもqが真であるとする。このとき、qのことをpであるための必要条件、また、pのことをqであるための十分条件という。ところで、「pならばqである」が真であっても、かならずしもその逆、「qならばpである」が真とは限らない。つまり、qはpの必要条件であるが、pであるための十分条件とは限らないのである。たとえば、「ある整数が4の倍数ならばその数は偶数である」は真であるが、その逆、「偶数は4の倍数である」はかならずしも真ではない。
 いま、qがpの必要条件であると同時に、逆にpもqの必要条件である場合を考える。するとpとqは互いに他の十分条件にもなっている。このとき、qはpの、またはpはqの必要かつ十分条件、縮めて必要十分条件という。またpとqは同値であるともいう。
 たとえば、一つの四辺形において「平行四辺形である」ことと、「対角線が互いに他を二等分する」こととは、互いに必要かつ十分な条件である。[古藤 怜]

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