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等質空間 とうしつくうかん homogeneous space

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

等質空間
とうしつくうかん
homogeneous space

均質空間,同次空間ともいう。変換群 Gをもった空間 Xのこと。 Xの1点を不変にする部分群 Hを考えて,Xは普通 G/Hの形で考えられる。 F.クラインは,幾何学を等質空間の性質を調べるものと考えたので,『エルランゲン目録』で,幾何学を変換群 Gによって分類した。

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世界大百科事典 第2版の解説

とうしつくうかん【等質空間 homogeneous space】

Gと集合Xがあって,Gの各元gXの各元xに対しXの元が定められていて,これをgxと書くとき次の2条件が成り立つならば,群Gは集合X上に作用するといい,GX上の変換群という。(1)Gの単位元eに対しexx,(2)Gの2元g,g′の積gg′に対し(gg′)xg(gx)。さらに,Xのどんな2元x,x′をとってもx′=gxとなるようなGの元gが存在するならば,Gの作用は推移的であるという。集合Xに対しその上に推移的に作用する群Gが存在するとき,XGを変換群とする等質空間であると呼ばれる

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

等質空間
とうしつくうかん

距離空間において、任意に与えられた2点A、Bに対してAをBに写すような等長変換があるとき、この距離空間を等質空間、均質空間、または斉次(せいじ)空間という。等質空間は数学のさまざまな分野に現れ、詳細な解析が可能な点や、一般論の出発点となるモデルを多く含む点などで、非常に重要である。平面または空間において任意の2点A、Bが与えられたとき、AをBに写すような等長変換がある。たとえば、AをBに写すような平行移動がそうである。同様に、球面上に任意の2点A、Bが与えられたとき、AをBに写すような球面の等長変換がある。この場合は、たとえば線分ABの垂直二等分面に関する対称移動がそうである。したがって、平面や空間、および球面は等質空間である。また、楕円(だえん)柱面とか放物柱面などの柱面は、すべて等質空間の例である(ただし、2点間の距離として、その2点を結ぶ柱面内の最短経路の長さを考えるものとする)。なぜならば、柱の方向の平行移動も、柱の方向に垂直な方向に定距離だけ進むという移動も、ともに柱面の等長変換となり、これらを適当に組み合わせた等長変換で任意の点が任意の点に移るからである。
 等長変換は2点間の距離を変えないから、等質空間では至る所が同じかっこうをしていることになる。しかし、放物柱面の例からもわかるように、外からみて至る所同じかっこうをしているとは限らないことに注意する必要がある。[高木亮一]

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