円錐曲線(えんすいきょくせん)の一つ。長円ともいう。2定点F、F′からの距離の和が一定である点の軌跡が楕円であり、F、F′をその焦点という( )。F、F′を通る直線をx軸とし、線分FF′の垂直二等分線をy軸とする直交座標系をとれば、楕円は
の形の方程式で表される。F、F′が一致すれば円となるので、円は楕円の一種である。Oを楕円の中心、中心を通る弦を直径という。とくに のAA′、BB′をそれぞれ長軸、短軸、これらをあわせて主軸という。一方の焦点から出た光は楕円で反射してすべて他方の焦点に集まる、という性質をもつ。x2+y2=a2なる円を楕円(*)の補助円という( )。
x=acos, y=bsin
なる点P(x, y)は楕円上にあり、x′=acos, y′=asin
なる点Q(x′, y′)は補助円上にあるから、楕円は補助円をy軸方向にb:aの比で収縮したものである。x軸とQOによってつくられる角
をPの離心角という。一つの直径g1に平行な弦の中点の軌跡はまた一つの直径g2となる。このときg2に平行な弦の中点の軌跡はg1で、g1とg2とは互いに共役な直径といわれる( )。
楕円はまた、定直線と定点からの距離の比が1より小さい一定値である点の軌跡、ともいうことができる。 にそのような定直線と定点の組l、Fとl′、F′とを書いてある。l、l′を準線という。一定値eは楕円の離心率といわれ、
で与えられる。λを径数(パラメーター)とする二次曲線群
は、λ<βならば楕円を、β<λ<αならば双曲線を表し、すべて同じ焦点〔=(α-β), 0〕をもつ。このとき、平面上の原点以外の任意の点Pを通って、この二次曲線群の一つの楕円と一つの双曲線があり、それらはPで互いに直交する( )。このように焦点を共有する楕円、双曲線は共焦点であるという。
楕円は円錐曲線の一つとして紀元前200年以上前にアポロニウスらによって学問的に研究された。それが2000年近くもたってから「惑星は太陽を一焦点とする楕円軌道を描く」というケプラーの法則によって実用上の意味をもつことになったのは興味深い。
[立花俊一]
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