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位相群 いそうぐんtopological group

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

位相群
いそうぐん
topological group

連続性を伴った変換群の議論のために,その群を位相群として特に取上げて議論する。そうした出発から,連続群といわれることもある。群 G が同時に位相空間となっていて,G の単位元を eG の2元 xy の積を xyG の元 x の逆元を x-1 とするとき,次の写像 がともに連続写像であれば,群 G は位相群であるという。すなわち,その写像とは,(1) は積空間  G×G から G への写像で,G における積 xy をつくる,(2) ψ は G から G への写像で,逆元 x-1 をつくることである。たとえば,実数または複素数全体の集合は,加法について群をつくるが,これは位相群でもある。

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世界大百科事典 第2版の解説

いそうぐん【位相群 topological group】

x,yが正数のとき積xyおよび逆数x-1はまた正数であるから,正数全体の集合は1を単位元として群をつくる。この際,(x,y)をxyにうつす関数およびxx-1にうつす関数はともに連続である。一般に,群Gが与えられたとき,G×GからGへの写像が(x,y)を積xyにうつすことにより,またGからGへの写像がxを逆元x-1にうつすことにより得られるが,Gに位相が導入されているときは,これらの写像の連続性が議論できる。

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世界大百科事典内の位相群の言及

【群】より

…また,結晶学における結晶の分類や,量子力学にも応用されている。群に位相を入れた位相群というものもあり,その応用範囲は広い。応用される分野に応じて群があるといえるくらい,重要な群が多くあり,その多くのものはリー群と呼ばれるものに含まれる。…

※「位相群」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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