線積分（読み）せんせきぶん

日本大百科全書(ニッポニカ)

線積分
せんせきぶん

曲線に沿って行う積分のことで、曲線積分ともいう。いま、Lは2点A、Bを結ぶ長さのある曲線とする。L上での関数f(P)の線積分

を次のように定める。A、Bの間の曲線の部分に順に数多くの点P₁,P₂,……,P_n-1（A=P₀,B=P_nとする）をとり、またP₀,P₁の間に点Q₁、P₁,P₂の間に点Q₂、……、P_n-1,P_nの間に点Q_nをとり（図A）、和

を考える。ここでは、P_k-1,P_kを結ぶ線分の長さである。点P₁,P₂,……,P_n-1,Q₁,Q₂,……,Q_nのとり方をいろいろに変えるとき、どのようにそれらをとっても、これらの点をL上密になるようにしていったとき、ある極限値に収束するならば、この極限値を前記線積分（＊）の値と定義する。f(P)がLを含むような平面のある部分において有界連続ならば、線積分は存在する。線積分の近似和において、を、たとえば、各点のx座標の差x_k-x_k-1で置き換えて、

を考え、これの極限値として線積分

が定義される。同様に、線積分

も定められる。たとえば、平面上の長さのある単純閉曲線Lで囲まれた部分（図B）の面積をSとすれば、

　平面上の有界な領域Dの境界が、区分的に滑らかな有限個の単純閉曲線C₁,C₂,……,C_mからなるとする（図C）。これらの境界の曲線は、すべてDの内部を左側に見ながら回る向きをつけてあるものとし、まとめてCで表す。いま、f(x,y),g(x,y)が、D上境界も含めた範囲でC¹級関数（連続な偏導関数を有する関数）ならば、次の式が成立する。

これをグリーンの定理という。

［竹之内脩］

複素関数の線積分

線積分の近似和におけるを、各点を表す複素数の差z_k-z_k-1で置き換えて

（Z_k′はQ_kに対応する複素数）とし、これの極限値として、

が定義される。コーシーの積分定理

および、コーシーの積分公式

などは、この線積分を用いたものである。

［竹之内脩］

線積分説明図〔図A〕

線積分説明図〔図B〕

線積分説明図〔図C〕

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

改訂新版　世界大百科事典

線積分 (せんせきぶん)
curvilinear integral

xy平面の上の一つの連続曲線C：x＝φ（t），y＝ψ（t）（α≦t≦β）があって，C上で関数f（x，y）が定義されているとき，tの関数f（φ（t），ψ（t））のスティルチェス積分，を，fのCに沿ってのxに関する線積分といい，または単に，と書く。同様にfのyに関する線積分，も定義される。とくにφ（t）が連続微分可能なら，となって，ふつうの積分の計算になる。またφ（t），ψ（t）が連続微分可能のとき，をfのCに沿っての線素に関する線積分といい，と書く。n次元空間における曲線，

　C：x_i＝φ_i（t），1≦i≦n（α≦t≦β）

に沿っての線積分も同様に定義される。
執筆者：伊藤 清三

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

線積分
せんせきぶん
curvilinear integral

曲線積分ともいう。空間内のある領域において関数 P(x，y，z) が連続で，またその領域においてなめらかな曲線 C：x＝(t)，y＝(t)，z＝(t) が与えられているとき，積分
が存在するならば，これを C に沿う P(x，y，z) の x に関する線積分といい，
と書く。後者は C が閉曲線の場合である。 y ，z に関する線積分も同様に定義され，上の式の dx を dy あるいは dz で置き換えればよい。また，線素 ds²＝dx²＋dy²＋dz² を考えるとき，密度 P に対して線積分 が定義できる。特に はこの曲線 C の長さになる。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典