部分分数(読み)ぶぶんぶんすう(英語表記)partial fraction

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

部分分数
ぶぶんぶんすう
partial fraction

1つの分数式を,それより簡単ないくつかの分数式の和の形に書直すことを,与えられた分数を部分分数に分解するという。たとえば,分数式
を,AB を定数として
の形に書直すことを試みれば,分母を払って係数を比較して A=6,B=-1 であることがわかる。微分や積分は加法的な演算なので,分数式の微積分には部分分数分解が有効になる。

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世界大百科事典 第2版の解説

ぶぶんぶんすう【部分分数 partial fraction】

有理式,は,次のように変形される。有理式を右辺の形に表すことを部分分数に展開するという。この展開は次の二つの事実に基づいてなされる。多項式fの次数をdegfで表すことにする。(1)f,gが互いに素な多項式で,hが多項式でdegh<degfgであれば,で,degA<degf,degB<deggを満たす多項式A,Bが定まる。(2)nが2以上の自然数で,degh<degfnならば,で,degAi<degf(1≦in)である多項式Aiが定まる。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

部分分数
ぶぶんぶんすう

実数を係数とする有理式f(x)/g(x)において、分母g(x)が
g(x)=(x-a)k……(x2+px+q)l
のように因数分解されたとする。ここにx2+px+q以下は実数の範囲では分解できないとする。このときf(x)/g(x)を次のような展開形に表すことができる。

 有理式をこのように表すことを部分分数に展開するという。f(x)/g(x)を部分分数に展開するときは別図のように次の手順で行う。
(1) の例3のようにf(x)をg(x)で割り

という形にする。
(2) g(x)を因数に分解して、の例1、例2のようにして未定係数を求める。
 部分分数展開は、有理関数の積分の計算の基礎である。[寺田文行]

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