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未定係数法 みていけいすうほう method of undetermined coefficients

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

未定係数法
みていけいすうほう
method of undetermined coefficients

ある条件を満たす未知関数 f を求めるのに,たとえば,f が多項式であることがわかっていたりすると,f(x)=c0c1xc2x2+…+cnxn として,最初の条件を ck についての条件に直し,それから ck を求めることによって f を決定する方法をいう。

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世界大百科事典 第2版の解説

みていけいすうほう【未定係数法 method of indeterminate coefficients】

有理式,を部分分数に分解することを考えよう。それには,と展開できたとして,であるから,係数を比較して, AB=2,C-3B=-1, 5A-3C=-1であればよい。この一次方程式を解くと,A=1,B=1,C=2であるから部分分数展開,を得る。このように求めたい係数を未知数にしておいて,それらが満たす条件からその係数を決める方法を未定係数法という。次にこの方法の応用例をいくつか示そう。
因数分解
 多項式, f(x,y)=2x2+3xy-2y2+5x+5y+3を因数分解することを考えよう。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

未定係数法
みていけいすうほう

与えられた既知の式または条件から新しい式を導くとき、求めるべき式に現れる係数を未知数として設定し、種々の数学的原理を用いて、未知の係数を決定する方法を未定係数法という。以下三つの応用例を示す。
(1)2x3-x2+3x+1をx2-2x+3で割ったときの商と余りを求める。商と余りはいずれも一次式であるから、それぞれをax+b,cx+dと置くと、次の等式が得られる。
  2x3-x2+3x+1
   =(x2-2x+3)(ax+b)+(cx+d)
これは恒等式であるから、左右の同類項の係数は等しい。
  a=2, 2a-b=1, 3a-2b+c=3, 3b+d=1
この連立方程式を解いて、
  a=2, b=3, c=3, d=-8
を得る。したがって、商は2x+3で、余りは3x-8である。
(2)xの三次の整式があって、xが-1,0,1,2の値をとるとき、この式の値は、それぞれ、-1,3,5,11となる。この整式を求める。求める整式をf(x)=ax3+bx2+cx+dと置くと、
  f(-1)=-a+b-c+d=-1,
  f(0)=d=3,
  f(1)=a+b+c+d=5,
  f(2)=8a+4b+2c+d=11
が得られる。これらの方程式から
  a=1,b=-1,c=2,d=3
を得る。求める式はx3-x2+2x+3である。
(3)次の恒等式が成立するように定数a,b,cの値を求める。
  a(x-1)(x-2)+b(x-2)(x-3)
   +c(x-3)(x-1)=4x2-13x+7
恒等式であるから、xに任意の数を代入しても、両辺の式の値は等しい。そこでxにそれぞれ1,2,3を代入すると、それぞれ
  2b=-2,-c=-3,2a=4
が成り立つ。これからa=2,b=-1,c=3が得られる。[竹内芳男]

出典|小学館 日本大百科全書(ニッポニカ) この辞書の凡例を見る
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