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距離空間 きょりくうかんmetric space

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

距離空間
きょりくうかん
metric space

集合 R の任意の2点 xy に対して,1つの正数 ρ(xy) が,次の性質を満足するように定義できるとき,この集合 R を距離空間という。 (1) ρ(xx)=0 ,(2) ρ(xy)=0 なら xy ,(3) ρ(xy)=ρ(yx) ,(4) ρ(xy)+ρ(yz)≧ρ(xz) 。 ρ を2点 xy の組と ρ(xy) との対応と考えれば,ρ は1つの関数である。この関数を距離関数といい,実数 ρ(xy) を xy の距離という。このような距離の定義されている位相空間を距離空間という。ユークリッド空間 ,ヒルベルト空間,フレッシェの空間などがその例である。

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デジタル大辞泉の解説

きょり‐くうかん【距離空間】

任意の二点間に距離が定義される空間。例えば、平面上の二点間では距離が定義できるから、平面は距離空間である。

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世界大百科事典 第2版の解説

きょりくうかん【距離空間 metric space】

平面上の2点P,Qの距離をd(P,Q)で表したとき,次の3条件が成り立つ。(1)d(P,Q)≧0でかつPQのときに限ってd(P,Q)=0,(2)d(P,Q)=d(Q,P),(3)d(P,R)≦d(P,Q)+d(Q,R)。一般に,集合Sにおいて,その任意の2元P,Qに対して一つの実数d(P,Q)が定められていて,上の3条件が成り立つとき,Sを距離空間といい,d(P,Q)をPQの距離という。平面上の点P,Qを直交座標により(x1,x2),(y1,y2)で表すとき,となる。

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大辞林 第三版の解説

きょりくうかん【距離空間】

〘数〙 集合 M の任意の要素 x y に対して、次の (1) ~ (3) をみたす実数 d x , y )が対応しているとき、 d M 上の距離関数といい、 M を距離空間、 M の要素をこの距離空間の点という。 (1) d x , x )=0; x y ならば d x , y )>0 (2) d x , y )=d y , x ) (3) d x , y )+d y , z )≧d x , z

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