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ベルヌーイ数 ベルヌーイすうBernoulli number

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

ベルヌーイ数
ベルヌーイすう
Bernoulli number

自然数のべきの和を求める多項式 (ベルヌーイの多項式) の展開に伴って見出される有理数で,J.ベルヌーイ (1世) にちなんでこう呼ばれる。 x/(ex-1) をべき級数に展開し,x/(ex-1)=ΣB'n(xn/n!)=B'0B'1(x/1!)+B'2(x2/2!)+… としたときの係数として現れ,B'0=1,B'1=-1/2,B'2=1/6,B'3=0,B'4=-1/30,B'5=0,B'6=1/42,… である。しかし,一般に応用数学の分野では,ベルヌーイ数を Bn とすると,Bn=(-1)n-1B'2n とおいて,Bn=2(2n)!ζ(2n)/(2π)2n ( ζ はゼータ関数) で表わされ,B1=1/6,B2=1/30,B3=1/42,B4=1/30,B5=5/66,… とされる。すなわち符号因子 (-1)n をつけることによってすべてを正の有理数にするのである。これらの数をベルヌーイ数という。

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世界大百科事典 第2版の解説

ベルヌーイすう【ベルヌーイ数 Bernoulli number】

x/(ex-1)の原点におけるテーラー展開の係数Bkをベルヌーイ数と呼ぶ。B0=0,B1=-1/2,B2l+1=0(l≧1)である。またB2llが奇数のとき正,lが偶数のとき負である。B2=1/6,B4=-1/30,B6=1/42,B8=-1/30,B10=5/66,B12=-691/2730であり,ベルヌーイ数はすべて有理数である。ベルヌーイ数は数論やトポロジーなど数学の種々の分野に登場する。ヤコプ・ベルヌーイは確率の研究中に公式,を見いだした。

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