ボレル集合（読み）ボレルしゅうごう（英語表記）Borel set

改訂新版　世界大百科事典

ボレル集合 (ボレルしゅうごう)
Borel set

n次元ユークリッド空間Rⁿにおいて，1点xからの距離がある正の数rより小さい点の全体を，xを中心とする半径rの開球という。開球の任意個数（有限個でも無限個でもよい）の合併として表される集合を開集合といい，開集合Gの余集合F＝Rⁿ－Gを閉集合という。Rⁿにおける開集合はたかだか可算無限個の開球の合併で表されることが知られている。開集合の任意個数の合併は開集合であるが，開集合の可算無限個の共通部分は必ずしも開集合でない。閉集合の任意個数の共通部分は閉集合であるが，閉集合の可算無限個の合併は必ずしも閉集合でない。そこでÉ.ボレルは1898年に次の概念を導入した。Rⁿの部分集合の族Bがボレル系であるとは，（1）Bに属する集合Eの補集合Rⁿ－EはBに属する，（2）Bに属する可算無限個の集合E₁，E₂，……，E_k，……の合併も共通部分もBに属するという条件を満たすことである。とくにすべての開集合およびすべての閉集合を含むボレル系の中で最小のものをB₀とするとき，B₀に属する集合をボレル集合という。ボレル集合は測度，積分論において重要な概念である。
執筆者：伊藤 清三

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

日本大百科全書(ニッポニカ)

ボレル集合
ぼれるしゅうごう
Borel set

直線上の［a,b）の形の半開区間、また平面上の［a₁,b₁）×［a₂,b₂］の形の半開区間をIとする。このような半開区間からIの補集合I^c、および可算個のInから和集合∪Inをつくることにより得られる集合の全体をボレル集合族といい、それに属する集合をボレル集合という。

　明らかに半開区間には、その長さまたは面積が決定できる。よって、それから生成される完全加法的な測度を考えると、ボレル集合は可測になり、測度が定義される。

　なお開集合は半開区間の可算個の和集合として表されるから、ボレル集合は開集合から生成される完全加法的な集合族と定義してもよい。

　以上の定義はn次元空間にもそのまま拡張される。

［洲之内治男］

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

ボレル集合
ボレルしゅうごう
Borel set

平面上で，正方形全体の集合を考え，これらから出発して，可算個の合併集合，可算個の共通集合，また補集合をつくるという3種類の操作によってつくりだされる集合。積分論や確率論で重要な役割を演じる。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典