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ランジュバン方程式 ランジュバンほうていしきLangevin equation

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

ランジュバン方程式
ランジュバンほうていしき
Langevin equation

ブラウン運動を記述する確率的な運動方程式粒子速度v,質量を m,抵抗係数をγとすると,次の式で与えられる。

m(dv/dt)=-γvF(t)

F(t) は粒子が受ける力から,平均の抵抗力 -γv を除いたもので,揺動力と呼ばれる。この方程式は確率的に変化する力 F(t) によって駆動されるブラウン粒子の速度 v(t) を定める。 F(t) の最も簡単な場合は,〈F(t)〉=0,〈F(t)F(t')〉=2γkTδ(tt') である。〈 〉は時間平均,kはボルツマン定数,Tは絶対温度,δはδ関数である。また速度 v(t) の確率分布はこの方程式に等価なフォッカー=プランク方程式に従い,十分に長い時間が経過したのちの粒子の変位 xに対しては,アインシュタインの拡散式 〈x2〉=2(kT/γ)t が成り立つ。この方程式は流体中のブラウン運動ばかりでなく,固体中の電子やスピン運動の研究に対しても応用されている。森肇はこの方程式を数学的に厳密に導くことに成功した。

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世界大百科事典 第2版の解説

ランジュバンほうていしき【ランジュバン方程式 Langevin equation】

水中の微粒子は,水の分子と衝突して不規則な運動をしているが,水平方向の速度U(t)は次の方程式に従い変動する。aを摩擦係数,B(t)をブラウン運動とすると, dU(t)=-aU(t)dt+λdB(t)この方程式は,ランダムな外力が加えられたときの運動を記述するのに,P.ランジュバンが用いた方程式と類似するため,ランジュバン方程式と呼ばれている。ランジュバン方程式は線形な確率微分方程式で,定常解は,と確率積分で表され,オルンシュタイン=ウーレンベックOrnstein‐Uhlenbeckのブラウン運動と呼ばれる正規定常なマルコフ過程である。

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世界大百科事典内のランジュバン方程式の言及

【ブラウン運動】より

…ポーランドのM.vonスモルコフスキー,ドイツのフォッカーAdriaan Daniël FokkerおよびM.プランク,フランスのP.ランジュバンによって発展され,さらにのちにはN.ウィーナーにより確率過程の数学の一部門にもなっていく。フォッカー=プランクの方程式は微粒子の位置と速度の確率分布関数がみたすべき方程式であり,ランジュバン方程式は微粒子の運動方程式で,速度の減衰項や外力(重力)のほかに,ランダム・ノイズとしてのゆらぐ力を含んでいる。分子衝突に起因するゆらぎの力は確率変数である。…

※「ランジュバン方程式」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

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