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一対一対応 いちたいいちたいおうone-to-one correspondence

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

一対一対応
いちたいいちたいおう
one-to-one correspondence

2つの集合 AB の元を互いに対応させるとき,A の任意の1つの元に B のただ1つの元が対応し,B の任意の1つの元に対し A の元がただ1つ対応するようにできるとき,この対応は一対一であるという。このとき集合 AB は対等であるという。この概念は,全単射の概念とまったく同等である。たとえば,自然数全体の集合,偶数あるいは奇数全体の集合,平方数全体の集合は,それぞれ一対一対応するので対等である。一対一対応の概念は,G.カントル無限の問題を解決するために,1870年代に,初めて数学上の基本概念として用いたものである。

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デジタル大辞泉の解説

いちたいいち‐たいおう【一対一対応】

数学で、集合Mから集合Nへの写像fによって、集合Mの異なる要素に対して集合Nの異なる要素が必ず対応するとき、この写像fを1対1対応であるという。

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大辞林 第三版の解説

いちたいいちたいおう【一対一対応】

〘数〙 集合 M から集合 N への写像 f で、 M の任意の相異なる要素が f によって N の相異なる要素に対応し、 N の任意の要素は M のある要素の像となっているとき、 f M から N への一対一対応という。全単射。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

一対一対応
いちたいいちたいおう

AからBへの対応で、Aの各元(げん)に一つずつBの元が対応し、しかもBの各元がAの一つずつの元に対応しているとき、この対応を一対一の対応という。これは対応のうちの特別の場合である。たとえば、偶数の全体の集合と奇数の全体の集合の間の対応で、偶数2nに奇数2n+1を対応させるように、集合Aの相異なる元には集合Bの相異なる元が対応しており(これを単射という)、さらにBの任意の元はAのある元に対応している(これを全射という)とき、この対応は一対一対応である。有限個の元からなる二つの集合については、それらの間に一対一対応があれば元の個数が等しい。このことに倣ってカントルは、無限集合に対しても一対一対応があることをもって個数(無限集合の場合を含め濃度とか基数などが用いられる)が等しいことの定義とした。たとえば、自然数の全体Nと有理数の全体Qの間とか、実数の全体Rと複素数の全体Cの間には一対一対応が存在するが、自然数の全体Nと実数の全体Rの間には一対一対応がないことなどが知られている。[難波完爾]

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