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凸関数 とつかんすうconvex function

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

凸関数
とつかんすう
convex function

関数 yf(x) の定義されている区間内で,3点 x1x2x3x1x2x3 のようにとられているとき,これらの3点に対して,
が成り立てば,f(x) は凸関数と呼ばれる。 x1x2x3 に対応する曲線上の点を P1 ,P2 ,P3 とすれば上の不等式の左辺は線分 P1P2 の傾きを示し,右辺は線分 P2P3 の傾きを示しており,しかも上の不等式全体は,P1P2 の傾きが P2P3 の傾きよりも大きくないことを示している。もっと簡単には,関数 yf(x) のグラフ上の2点 P1 ,P2 を結んだ線分 P1P2 が,それら2点間にあるグラフよりも上にあれば,関数 f(x) は関数であるといってもよい。この定義では,1次関数も凸関数になってしまうが,この不等式が ≦ でなくて < になったときは,狭義の凸関数または真に凸な関数という。

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世界大百科事典 第2版の解説

とつかんすう【凸関数 convex function】

一つの区間で定義されている実数値関数f(x)が,この区間の任意の2点x1,x2に対して,を満たすときこれを凸関数という。区間axbにおいてf(x)が凸関数であって,その一つの部分区間で上に有界ならば,f(x)は区間axbで連続である。f(x)が連続である区間においては,f(x)が凸関数であることは,yf(x)のグラフが“下に凸”であることと同じである(図)。axbで2回微分可能な関数f(x)が,そこで凸関数であることは,f″(x)≧0なることと同等である。

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大辞林 第三版の解説

とつかんすう【凸関数】

〘数〙 グラフ上の二点をとったとき、その二点間でグラフがその二点を結ぶ線分の下方にあるような関数。この時、この関数のグラフは下に凸(上に凹)であるという。同様に線分の上方にある場合は、上に凸(下に凹)であるという。

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