精選版 日本国語大辞典 「凸関数」の意味・読み・例文・類語
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一つの区間で定義されている実数値関数f(x)が,この区間の任意の2点x1,x2に対して,を満たすときこれを凸関数という。区間a≦x≦bにおいてf(x)が凸関数であって,その一つの部分区間で上に有界ならば,f(x)は区間a<x<bで連続である。f(x)が連続である区間においては,f(x)が凸関数であることは,y=f(x)のグラフが“下に凸”であることと同じである(図)。a<x<bで2回微分可能な関数f(x)が,そこで凸関数であることは,f″(x)≧0なることと同等である。例えばxp(p<0またはp>1),-xp(0<p<1),-log x,xlog xは0<x<∞において凸関数であり,は-∞<x<∞において凸関数である。凸関数は種々の不等式を導くのにも用いられる。f(x)がa≦x≦bで連続な凸関数ならば,その区間に属する任意のx1,……,xnと任意の正数α1,……,αnに対して,不等式,
が成立する。例えばaν>0,bν>0(ν=1,……,n),p>1,1/p+1/q=1(したがってq>1)のとき,上の不等式でf(x)=xq,αν=aνp,xv=bv/avp/qとすると,ヘルダーO.Hölderの不等式,を得る。
執筆者:伊藤 清三
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