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結び糸 むすびいと knots

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

結び糸
むすびいと
knots

3次元空間内において,円周と位相同形閉曲線を結び糸または組み糸 braidという。3次元空間内で,結び糸を,それ自身を切合うことなしに円周に変形できるかという問題を,結び糸の問題という。

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出典|ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典
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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

結び糸
むすびいと

空間の中で1本の紐(ひも)を自由自在にぐるぐると自分自身に巻き付け、結び付けて、その両端を縛ってできる図形が結び糸(結び目)である。たとえば図Aの(1)は紐で物を縛るときによくつくる結び目の図形であるが、これらの両端をあわせた図Aの(2)のクローバー結びや、8の字結びのような空間図形が結び糸である。こうした結び糸K1は、自分自身を切ったりくっつけたりしないで、空間の中で自然に伸ばしたり縮めたりなどの変形をして結び糸K2になるとき、K1とK2は同じ結び糸であるという。
 これは正確には、空間R3を自分の上へ写すh(K1)=K2となるような(向きを保つ)同相写像hが存在することであると述べられる。たとえば図Aの(2)で、クローバー結びの糸のどこか1か所で上下の交差を逆にした結び糸は、図Aの(3)のように(平面に描かれた)円周が示す結んでいない(平凡な)結び糸と同じである。しかし、元の図Aの(2)のクローバー結び糸や8の字結び糸は、どのようにくふうしても、解けてしまって平凡な結び糸になることはないし、またクローバーが8の字になることもない、互いに異なる結び糸である。
 二つの結び糸は、図Aの(4)のように加えて、それらより複雑な和の結び糸をつくることもできるし、同じ結び方を無限に繰り返して(しだいに結び目は小さくなり、ついに1点に収束する)非常に複雑な結び糸を考えることもできる。
 そこで結び糸理論では、二つの結び糸の和とはならず、また無限には結び方を繰り返さない互いに異なる結び糸はどのくらいあるのか、それらを区別するのにはどんな概念を考えればよいかという点について研究が行われている。
 たとえば、結び糸Kに対してその補空間の基本群π1(R3-K)が整数の群Zと同型であることが、Kが平凡な結び糸となる必要十分条件であることが知られているし、また図Bは、それぞれ他の和とはならない結び糸を、その上下交差点の個数の少ない順に示したものである。現在でも、結び糸の問題は完全には解かれていない難問である。[野口 廣]

絡み糸(組み糸)

空間の中で自分自身結んでいる結び糸を数個互いに絡ませてできる図形が絡み糸である。図Cは2個の結び糸を絡ませた絡み糸である。結び糸と同様に切ったり、はり合わせたりしないで自然に他へ変形できるとき同じ絡み糸と定めるが、(2)より(7)まではすべて異なる絡み糸である。[野口 廣]

出典|小学館 日本大百科全書(ニッポニカ) この辞書の凡例を見る
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