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フーリエ変換 フーリエへんかん Fourier transformation

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

フーリエ変換
フーリエへんかん
Fourier transformation

(-∞,∞) で定義された実数値をとる1つの関数 f(x) が与えられたとき,フーリエ積分 を考えて,関数 f(x) に関数 g(x) を対応させる変換を,フーリエ変換という。また,g(x) を f(x) のフーリエ変換という。

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出典|ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典
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大辞林 第三版の解説

フーリエへんかん【フーリエ変換】

関数 f x )に e -ixt を掛けて区間(-∞, ∞)で積分したものは、t の関数になり F t )で表され、f x )に対して F t )を対応させることを、f x )のフーリエ変換という。このとき f x )が適当な条件をみたせば、逆に F t )に e ixt を掛けて区間(-∞, ∞)で積分したもので f x )が表される(フーリエ逆変換)。時間の信号である f t )から周波数の関数 F (ω)へのフーリエ変換は重要な応用例である。

出典|三省堂
(C) Sanseido Co.,Ltd. 編者:松村明 編 発行者:株式会社 三省堂 ※ 書籍版『大辞林第三版』の図表・付録は収録させておりません。 ※ それぞれの用語は執筆時点での最新のもので、常に最新の内容であることを保証するものではありません。

日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

フーリエ変換
ふーりえへんかん
Fourier transformation

実軸上の関数f(x)に対し、そのフーリエ変換を

で定義する。(ξ)が適当な条件を満たせば、

が成り立つ。これをフーリエの反転公式という。
 f(x)が偶関数のとき、(1)、(2)はそれぞれ

また奇関数のときは

となる。
 f(x)∈L1(-∞,∞)ならば、そのフーリエ変換(1)が定義され、

とすると、

 さらに、

と定義すれば、(f*g)(x)∈L1(-∞,∞)となり、

などが成り立つ。
 たとえば

とすると、

とくに、

となり、フーリエ変換で変わらない。
 この例の関数は急減少関数、すなわち、無限回連続微分可能で、任意の自然数klに対し、
  xlf(k)(x)→0 (|x|→+∞)
となっている。そのような関数の全体をで表すと、fとなり、反転公式が成り立つ。よって、フーリエ変換を超関数′で定義する方法がある。
 フーリエ変換の他の一般への拡張は、fならば、

とすると、
  f2=2 (3)
 となるから、任意のL2(-∞,∞)の関数にフーリエ変換が定義され、(3)が成り立つ。これをプランシュレルの定理という。これから、フーリエ変換はL2(-∞,∞)上の等長変換であることがわかる。[洲之内治男]

多変数のフーリエ変換

フーリエ級数やフーリエ変換は多変数の関数f(x1,x2,……,xn)に拡張される。それには、x=(x1,x2,……,xn),ξ=(ξ12,……,ξn)に対し、

とし、

によって定義すればよい。多くの結果は一変数のときと同様に成り立ち、偏微分方程式などに応用される。[洲之内治男]

出典|小学館 日本大百科全書(ニッポニカ) この辞書の凡例を見る
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世界大百科事典内のフーリエ変換の言及

【音声情報処理】より

…また,同時にピッチ抽出も行う。スペクトル分析は,通常フーリエ変換か線形予測分析により行われ,ピッチ抽出は自己相関分析により行われることが多い。
[音声合成]
 調音器官を円筒形の縦続接続で近似し,電気回路のシミュレーションで音声を生成したり,スペクトル包絡を特徴づける少数の強い周波数成分(低い方から第1フォルマント,第2フォルマント……という)から音声を生成する方法(声道アナログ方式,ターミナルアナログ方式)が研究されてきたが,このような近似的な生成法では,鼻にかかったような機械的な音になってしまう。…

【高速フーリエ変換】より

…これを拡張して,任意の関数s(t)も,ある条件のもとで次のような周波数成分S(f)に分解できることが知られている。S(f)をs(t)のフーリエ変換という。s(t)が,離散的なt0,t1,t2,……,tNに対してのみ定義されているときは,S(f)の代りに,が用いられる。…

【フーリエ解析】より

…フーリエ級数,フーリエ変換などを用いて関数の性質を研究し,種々の応用を論ずる分野をフーリエ解析という。実験によって数値的に与えられた関数のフーリエ級数を求める方法は調和解析といわれる。…

【フーリエ積分】より

…(-∞,∞)において積分可能な関数f(x)に対して,次の関数F(t)を考える。この右辺の積分をフーリエ積分といい,左辺の関数F(t)をf(x)のフーリエ変換という。また(1)によるfからFへの変換をもフーリエ変換という。…

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