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発展方程式 はってんほうていしき equation of evolution

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世界大百科事典 第2版の解説

はってんほうていしき【発展方程式 equation of evolution】

時間とともに状態が変化していく物理現象があって,その変化のしかたが過去の履歴には無関係に,その瞬間の状態によって定まるならば,その変化のしかたは一つの微分方程式で記述される。このように状態の時間的発展を記述する方程式を,一般に発展方程式という。例えば熱伝導の現象において,時刻tにおける温度分布uu(t,x)(xは空間の点)の変化のしかたは,偏微分方程式, ∂u/∂t=Δu (Δはラプラシアン)  ……(1) で記述されるが,各時刻tに対してxの関数u(t,・)をある適当な関数空間の要素と考えて単にu(t)と書き,対応u→Δuをその関数空間から同じ関数空間への写像と考えて一般にAと書くと,(1)は, du(t)/dtAu(t)  ……(2) と書くこともできる。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

発展方程式
はってんほうていしき

A(t)を数tをパラメーターとする線形位相空間Xにおける作用素の族とするとき、u(t)を未知なX値関数とする微分方程式
  u′(t)=A(t)u(t)  (1)
を発展方程式という。Xをバナッハ空間とする。X上の有界線形作用素の族{T(t):t≧0}は次の条件(a)~(c)を満たすとき、X上の(C0)級縮小半群とよばれる。(a)T(0)はX上の恒等作用素で、各t、sに対しT(t)T(s)=T(t+s)が成り立つ。(b)各x∈Xに対しT(t)xはtのX値関数としてt≧0で連続である。(c)各T(t)の作用素ノルムは1を超えない。{T(t) :t≧0}をX上の(C0)級縮小半群とする。極限

が存在するようなxに対しこの極限をAxと置いて定まるXの線形作用素Aをこの半群の生成作用素という。生成作用素Aの定義域D(A)はXで稠密(ちゅうみつ)で、x∈D(A)のときu(t)=T(t)xは(1)をA(t)=Aとして満たすただ一つの連続的微分可能なX値関数になる。Xの線形作用素AがX上のある(C0)級縮小半群の生成作用素であるための必要十分条件は、その定義域がXで稠密で、各λ>0に対しそのレゾルベント(λI-A)-1がXの有界作用素として定まり、かつその作用素ノルムがλ-1を超えないことである(ヒレ‐吉田の定理)。この定理を基礎にしてA(t)が真にtに依存する場合、Xがもっと一般の線形位相空間の場合、作用素A(t)がかならずしも線形とは限らない場合の発展方程式の解の存在、性質が調べられている。[小林良和]

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