ヒルベルト空間（読み）ひるべるとくうかん（英語表記）Hilbert space

日本大百科全書(ニッポニカ)

ヒルベルト空間
ひるべるとくうかん
Hilbert space

1900年ころ、ドイツの数学者ヒルベルトは積分方程式を解くのに、未知関数をフーリエ級数に展開すると、フーリエ係数についての無限連立一次方程式となることから、無限数列

の全体を(l²)で表し、x=｛x_n｝∈(l²)とy=｛y_n｝∈(l²)との内積を

で定義すると、(l²)はp次元ユークリッド空間において次元pを無限大にした極限と考えられるので、幾何学的な直観が使えることに気づき、空間(l²)の性質を調べた。これがのちにヒルベルト空間とよばれるものである（他のヒルベルト空間の例L²(a,b)については「関数解析」の項参照）。

　現在ではヒルベルト空間はもっと抽象的に定義される。実数または複素数を係数とするベクトル空間Hで、x,y∈Hに対し、内積として複素数〈x,y〉（実数係数のときは実数）が定義され、a、bを係数とすると、
　　（1）　〈x,x〉≧0, 〈x,x〉=0ならばx=0
　　（2）　〈y,x〉=〈,〉 (āはaの共役複素数)
　　（3）　〈ax+by,z〉=a〈x,z〉+b〈y,z〉
を満足する。このとき、

と置くと‖　‖はHのノルムになる。このノルムから導かれた距離に関し完備となるとき、Hをヒルベルト空間という。明らかにヒルベルト空間はバナッハ空間である。

　x,y∈Hに対して〈x,y〉=0ならば、xとyは直交するという。すると、ヒルベルト空間には互いに直交する要素の列｛x_n;‖x_n‖=1｝が存在し、Hの任意の要素xは

の形に展開できる。このとき、

が成立する。

　よって、xは｛c_n｝∈(l²)と一対一の対応がつき、しかもノルムを保存するから、Hの代りに(l²)で考えてもよい。

　ヒルベルト空間H上の有界線形汎(はん)関数を考えると、Hの要素が決まり、
　　(x)=〈x,〉
と内積で表される（リースの定理）。よってHの共役空間はH自身であると考えることもできる。このように考えると、Hの有界線形作用素Tの共役作用素T^*もHに作用することになり、任意のx,y∈Hに対し、
　　〈Tx,y〉=〈x,T^*y〉
の関係が成り立つものとしてよい。

　ヒルベルト空間Hの上の有界線形作用素の全体をMで表すと、T,S∈Mに対し、和S+Tも、スカラー倍aTもMに属し、さらに
　　(ST)(x)=S(T(x)), x∈H
によって積を定義すると、ST∈Mとなり、
　　‖ST‖≦‖S‖・‖T‖
となる。また、T^*∈Mである。

　このMを全作用素環といい、その部分環でノルム位相で閉じているものをC^*環、弱位相で閉じているものをノイマン環という。その研究はノイマンに始まり、量子力学などへの応用もあって、第二次世界大戦後急速な発展を遂げた部門である。

　有界線形作用素でA^*=Aとなるものを自己共役作用素という。これがさらに完全連続ならば、対称行列と同様なスペクトルの定理が成り立つ。すなわち、
　　Ax=λx, x≠0
となるxが存在するとき、λをAの固有値、xを固有値λに対する固有ベクトルということにすると、次のことが成り立つ。「自己共役、完全連続な作用素Aに対し、固有値の列｛λ_n｝:|λ₁|≧|λ₂|≧……→0と、対応する固有ベクトルの列｛_n｝が選べて、｛_n｝は正規直交系(〈_i,_j〉=1,〈_i,_j〉=0,i≠j)となり、

の形に展開できる」
［洲之内治男］

[参照項目] | 関数解析

出典　小学館　日本大百科全書(ニッポニカ)

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

ヒルベルト空間
ヒルベルトくうかん
Hilbert space

ダービト・ヒルベルトは積分方程式論を扱うのに，有限次元ユークリッド空間と同じように，関数空間を可算無限次元のユークリッド空間と考えた。それは，量子力学を数学的に整備する基礎ともなった。集合 H が次の公理を満たすとき，H をヒルベルト空間という。
(1) H の二つの元 f と g に対して，f＋g と af（a は複素数）が定義され，これらの演算に関して H は複素数上のベクトル空間である。
(2) H の二つの元 f と g に対して，それらの内積と呼ばれる複素数（f，g）が対応し，次の性質をもつ。
(a) （f＋f'，g）＝（f，g）＋（f'，g）
(b) （af，g）＝a（f，g）
(c) （ただし は（f，g）の共役複素数）
(d) （f，f）≧0 で，（f，f）＝0 となるのは f＝0 のとき，そしてそのときにかぎる。
(3) ∥f∥＝（f，f）^1/2 とおき，f と g の距離をρ（f，g）＝∥f－g∥で定義すれば，H は完備な距離空間である。
(4) H の次元は有限ではない。
(5) H は可分である。
(4) は無限次元で，(5)はそれが可算ということであるが，今日では一般次元で考えるために，(4)と (5)は仮定しないことが多い。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典