超限帰納法（読み）ちょうげんきのうほう（その他表記）transfinite induction

改訂新版　世界大百科事典

超限帰納法 (ちょうげんきのうほう)
transfinite induction

一般化された数学的帰納法の一種で，次のような証明法である。整列集合Λの各元λに命題P_λが対応しているとき，次のことが証明できれば，すべてのP_λは正しい。〈各λ∈Λに対して，μ＜λならばP_μが正しいという仮定のもとで，P_λは正しい〉。これでよい理由は，P_λが正しくないようなλがあったとして，そのようなλ全体の集合をMとすれば，Λが整列集合という仮定により，Mに最小元αがある。するとμ＜αならばP_μが正しいのだから，P_αも正しいはずで，α∈Mに反する。ゆえにMは空集合であり，すべてのP_λが正しい。二つの自然数の組の集り｛（m，n）｜m，nは自然数｝に辞書式順序をいれれば整列集合であるが，Λがこの整列集合である場合は，通常二重帰納法と呼ばれる。超限帰納法は，Λの濃度が非可算の場合に用いられるのがふつうである。
→数学的帰納法
執筆者：永田 雅宜

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

超限帰納法
ちょうげんきのうほう
transfinite induction

順序数αで番号づけられた命題 P(α)について，ξ＜αについて P (ξ) が成立すれば，P (ξ) を証明することによって P (α) を証明する方法。自然数についての数学的帰納法を一般化したものである。αで番号づけるために，選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならないが，超限帰納法を直接使わないで，選択公理またはそれと同値な補題を使って証明することのほうが多い。

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