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順序数 じゅんじょすう ordinal number

翻訳|ordinal number

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ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

順序数
じゅんじょすう
ordinal number

ものの個数を表す集合数に対し,並んでいる順序を表す数。序数ともいう。一般には,整列集合の順序型を順序数ということで,無限順序数を含む議論が展開できる。たとえば,表の右側の列が順序数である。

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デジタル大辞泉の解説

じゅんじょ‐すう【順序数】

自然数の機能のうち、物の順序・順番を示すときに使う数。序数。番号数。オーディナル数。→基数

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世界大百科事典 第2版の解説

じゅんじょすう【順序数 ordinal number】

ふつう番号をつけるときは1,2,3,……と自然数で番号をつけるが,数学ではもっと多くの番号が必要になることがある。そこで,自然数全体の次にwを考え,そのあとw+1,w+2,……,2w,2w+1,……というような番号づけが考えられる。そのように一般化した番号を順序数という。w,2wのように,それより小さいものはあるが,直前のもののない順序数を極限数という。 正確には,整列集合(〈集合〉の項目を参照)の集りを考え,整列集合の型を順序数と定義し,二つの整列集合WUとについて,Uのある元uによる{xUxu}とWとが同じ型であるとき,Wの型を表す順序数がUの型を表す順序数より小さいと定義する。

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大辞林 第三版の解説

じゅんじょすう【順序数】

集合の順序づけられた状態を表す数。有限順序数は自然数に相当する。他に無限集合に対する超限順序数がある。序数。オーディナル数。

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日本大百科全書(ニッポニカ)の解説

順序数
じゅんじょすう

n個の元をもつ有限集合Aは、その元に番号をつけて、{a0, a1,……, an-1}と表すことができる。これは、集合Aの元と、nより小さい自然数の集合{0, 1,……, n-1}との間に、並べ方(順序)を含めて互いの元がちょうど一つずつ対応するようにしたものである。これらの集合の順序数はnであるという。空集合の順序数は0と定める。順序数とはこのように、集合の元に一定の順序で番号づけを与えたときの、その集合の順序の型を与えるもので、この概念を無限集合にまで広げたものである。
 自然数全体の集合{0, 1, 2,……}は、大小の順序で最大元がない。この集合の順序数をωと表し、最小の無限順序数といい、各自然数nに対してn<ωとする。ωより大きい順序数として、
  ω+1,ω+2,……,ω+ω(=ω・2),……,ω+ω+……(=ω・ω=ω2),ω2+1,……,ω3,……,ωω,……
などがある。これらはそれぞれ、自分自身より小さい順序数全体の集合の順序数を表すので、順序数と、それより小さい順序数全体の集合を同一のものと考えると便利である。すなわち、
  ω={0, 1, 2,……}
  ω+1={0, 1, 2,……,ω}
  ωω={0, 1, 2,……,ω,ω+1,……,ω2,……,ω3,……}
である。これらの集合は、どの二つの異なる元についても、一方は他方より大きく、さらに、その部分集合にも最小の元がある。このように、集合Aのどの二つの元の間にも順序がついていて、しかも、どの部分集合にもこの順序で最初の元があるとき、Aはこの順序で整列集合であるという。順序数は整列集合であるが、{……,-2,-1, 0, 1, 2,……}は最小元がないので整列集合ではない。整列集合は、その順序を順序数の大小関係と対応させると、その順序を保ったまま、ある順序数と互いにちょうど一つずつの元を対応させることができる。したがって、順序数は整列集合の順序の型を表すということができる。{1, 3, 5,……, 2, 4, 6,……}は左から右への順序で整列集合で、順序数
  ω・2={0, 1, 2,……,ω,ω+1,ω+2,……}
と同じ型で、その順序数はω・2である。また、ω番目、(ω+1)番目の元はそれぞれ2、4である。[西村敏男]

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世界大百科事典内の順序数の言及

【集合】より

…〈どんな集合Mに対しても,それに適当な順序を与えて整列集合にすることができる〉。
[順序数]
 一般に二つの順序集合M,Nが同型であるとは,MからNへの1対1対応(全単射)fであってabf(a)>f(b)の成り立つものが存在するときにいう。例えば,自然数全体の集合Nを考えると,{2nnN}とNは同型であり,NN×N(辞書式順序による)とは同型ではない。…

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