ユークリッド空間（読み）ユークリッドくうかん（英語表記）Euclidean space

精選版 日本国語大辞典

ユークリッド‐くうかん【ユークリッド空間】

〘名〙 ユークリッド幾何学の研究対象となる空間。座標がそれぞれ (x₁, x₂, …, x_n), (y₁, y₂, …, y_n) であるような二点間の距離が公式で与えられる空間のこと。

出典　精選版 日本国語大辞典

デジタル大辞泉

ユークリッド‐くうかん【ユークリッド空間】

ユークリッド幾何学を適用できる空間。点はn個の実数の組で表され、二点A（a₁,a₂,…,a_n）, B（b₁,b₂,…,b_n）の間の距離は｛（a₁－b₁）²＋（a₂－b₂）²＋…＋（a_n－b_n）²｝の平方根で定義される。

出典　小学館

改訂新版　世界大百科事典

ユークリッド空間 (ユークリッドくうかん)
Euclidean space

n個の実数を並べた組（x₁，x₂，……，x_n）全体の集合をRⁿで表すとき，座標法により，直線，平面，空間の点はそれぞれR¹，R²，R³の要素と1対1に対応する。そして，座標がx，yである直線上の2点間の距離は，で与えられ，直交座標を用いれば，座標が（x₁，x₂），（y₁，y₂）である平面上の2点間の距離は，で，座標が（x₁，x₂，x₃），（y₁，y₂，y₃）である空間の2点間の距離は，で与えられる。そこで，一般のnについてもRⁿの要素（x₁，x₂，……，x_n）を点とみなして，これを一つの文字xで表し，2点x＝（x₁，x₂，……，x_n），y＝（y₁，y₂，……，y_n）に対し，をxとyの間の距離と呼ぶことにする。このようにしたときのRⁿをn次元ユークリッド空間という。上でみたことにより，直線はR¹，平面はR²，空間はR³と同一視される。Rⁿの2点x，yの間の距離を｜x－y｜で表すとき，Rⁿの3点x，y，zに対し，

　｜x－z｜≦｜x－y｜＋｜y－z｜

が成り立つ。Rⁿの点x＝（x₁，……，x_n），y＝（y₁，……，y_n）と実数λ，μに対し，点（λx₁＋μy₁，……，λx_n＋μy_n）をλx＋μyで表す。Rⁿのm＋1個の点に対し，（ここにλ₀，……，λ_mは実数で，λ₀＋……＋λ_m＝0）ならばλ₀＝λ₁＝……＝λ_m＝0という条件が成り立つとき，これらの点は一般に位置にあるといい，このときλ₀＋λ₁＋……＋λ_m＝1をみたすすべての実数λ₀，λ₁，……，λ_mに対する点全体の集合をRⁿのm次元平面という。とくにn－1次元平面を超平面，一次元平面を直線という。Rⁿの点aとr＞0に対し，｜x－a｜＝rをみたす点x全体の集合をaを中心としrを半径とするn－1次元球面という。RⁿからRⁿの上への1対1対応で，2点間の距離を変えないものをユークリッド空間の合同変換という。
執筆者：中岡 稔

出典　株式会社平凡社「改訂新版　世界大百科事典」

ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

ユークリッド空間
ユークリッドくうかん
Euclidean space

大ざっぱには，内積の入った n次元ベクトル空間を，n次元のユークリッド空間と考えればよい。もっと正確には，原点の任意性のために，n次元の運動群の作用する等質空間と考える。

出典　ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典

世界大百科事典（旧版）内のユークリッド空間の言及

【距離空間】より

…一般に，n個の実数の組(x₁,x₂，……，x_n)全体の集合においてと定義すれば距離空間が得られる。これをn次元ユークリッド空間Euclidean spaceという。また閉区間[a,b]で定義された連続関数は，その2元f,gに対して，d(f,g)＝max｛｜f(x)－g(x)｜；a≦x≦b｝と定義すれば距離空間となる。…

【距離空間】より

…一般に，n個の実数の組(x₁,x₂，……，x_n)全体の集合においてと定義すれば距離空間が得られる。これをn次元ユークリッド空間Euclidean spaceという。また閉区間[a,b]で定義された連続関数は，その2元f,gに対して，d(f,g)＝max｛｜f(x)－g(x)｜；a≦x≦b｝と定義すれば距離空間となる。…

※「ユークリッド空間」について言及している用語解説の一部を掲載しています。

出典｜株式会社平凡社「世界大百科事典（旧版）」